Теорема.

Якщо ми маємо (n+1) частковий розв’язок лінійного однорідного рівняння n –го порядку, то ці розв’язки обов’язково лінійно залежні.

Доведення:

L(y)= y⁽ⁿ⁾ + p₁y^(n-1) + … + p_ny = 0 – маємо (n+1) частковий розв’язок цього диференційного рівняння.

Розглянемо перші y₁, y₂,…, y_n, якщо вони лінійно залежні, то тоді і (n+1) лінійно залежні. Тобто 0*y_n+1 + α₁y₁ + α₂y₂ +… + α_ny_n = 0

Якщо y₁, y₂,…, y_n –не є лінійно залежні, то вони утворюють ФСР, тоді будь-який інший буде виражатися через нашу систему. Тобто y_n+1= β₁y₁ + β₂y₂ +… + β_ny_n

Значить система з (n+1) розв’язку – лінійно залежна, що і треба було довести.

Теорема:

Якщо два лінійних однорідних рівняння n-го порядку

y⁽ⁿ⁾ + p₁y^(n-1) + … + p_ny = 0

y⁽ⁿ⁾ + r₁y^(n-1) + … + r_ny = 0

мають спільну однорідну систему розв’язків, то вони тотожні між собою, тобто

p_i=r_i i=1,…n

Доведення:

Припустимо, що вони не тотожні.

(p₁-r₁)y^(n-1) + … + (p_n-r_n)y = 0 – поділимо на (p₁-r₁)

Отримаємо рівняння (n-1) порядку

y^(n-1) + … + q_ny = 0

Кожен із цих розв’язків, що складає ФСР є розв’язком рівняння, що ми отримали, отже за попередньою теоремою між y₁, y₂,…, y_n існує лінійна залежність, а тоді існує α_i: α₁y₁ + α₂y₂ +… + α_ny_n = 0, а це суперечить тому, що розв’язки ФСР лінійно незалежні, тобто p_n = r_n

Якщо ділити на (p₂-r₂), то все одно прийдемо до p₂=r₂. Так по індукції p_n=r_n. Отже рівняння співпадають.

Наслідок: ФСР однозначно визначає лінійне однорідне рівняння зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1.

Доведення.

Нехай y₁, y₂,…, y_n – ФСР. Розглянемо визначник, де у – невідома функція.

Розкриваємо по елементам останнього стовпчика:

Отримаємо рівняння зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює визначнику Вронського, складеному для ФСР, а тому він не дорівнює 0. А тому поділимо на нього і отримаємо потрібне рівняння.

Похідна визначника дорівнює сумі визначників, в кожному із яких замість елементів одного рядка записано похідні цього рядка.

Отже

p₁(x) = -W’(x)/W(x)

Коли ми знаходимо похідну від визначника Вронського, тоді кожний з визначників, крім останнього, буде дорівнювати 0, тому що буде мати два рівних рядки. Тому у чисельнику виразу p₁(x) стоїть похідна визначника Вронського.

dW/w =-p₁(x)dx

ln|w| = -∫ p₁(x)dx + lnC

w = C* e^{-∫ p1(x)dx}

w(x₀) = c

w = w(x₀)* e^{-∫ p1(x)dx}

Дата добавления: 2015-08-13