Фундаментальна система розв’язків

ФСР рівняння L[y]=0 – це будь-яка система із n лінійно незалежних часткових розв’язків цього рівняння.

Наслідок: функції, які утворюють ФСР, лінійно незалежні в будь-якому інтервалі (α,β) Î (a, b)

Теорема(про загальний розвязок):

Для " рівняння L[y]=0 (А) існує ФСР

Доведення. Візьмемо n² чисел a_ik Î R, таких що складений з них визначник не дорівнює 0.

Повернемося до нашого рівняння (А) і визначимо n часткових розв’язків, таких що в точці .

Утворилась система часткових розв’язків y₁(x),…, y_n(x)

Розглянемо визначник Вронського в точці x₀ для системи отриманих розв’язків.

В силу побудови, визначник Вронського в точці x_0. для отриманих часткових розв’язків рівняння (А) буде співпадати з визначником β. Тоді і визначник Вронського не дорівнює 0, то побудовані часткові розв’язки є лінійно незалежні,а значить утворюють ФСР.

Фундаментальна система, що побудована для одиничної матриці називається нормальною ФСР.

Теорема:

Якщо - фундаментальна система розв’язків рівняння (А), то загальний розв’язок , де довільні константи.

Доведення.

Треба довести, що для будь-якого часткового розв’язку рівняння (А) ми зможемо знайти коефіцієнти .

Нехай є - довільний частковий розв’язок рівняння (А). Він визначається:

Треба знайти .

Для цього підставимо

Отримали неоднорідну систему з n лінійних рівнянь. Визначник цієї системи буде співпадати з визначником Вронського нашої ФС в точці x₀, так як система фундаментальна то визначник не дорівнює 0. З цієї системи ми однозначно знаходимо коефіцієнти , для будь-яких .

Для нормальної ФС система для визначення приймає найбільш простий вигляд.

і константи дорівнюють початковим значенням

Дата добавления: 2015-08-13