Визначник Вронського

Нехай задано n функцій, що мають неперервні похідні до (n-1) порядку включно.

Утворимо визначник:

- визначник Вронського

Теорема. Якщо функції лінійно залежні, то визначник Вронського дорівнює 0.

Доведення: Якщо функції лінійно залежні, то :

, тоді

Знайдемо похідні

………

Якщо перший стовпчик визначника Вронського помножити на (-β₁), другий стовпчик визначника Вронського помножити на (-β₂),... і додати до останнього стовпчика, то останній стовпчик буде дорівнювати 0, тоді визначник = 0.

Теорема. Якщо y₁ , y₂,..., у_n лінійно незалежні на a<x<b, то визначник Вронського в жодній точці цього проміжку не дорівнює 0.

Доведення:

Припустимо супротивне: нехай існує точка :

Позначимо ,

Складемо систему:

Це лінійна однорідна система з n рівнянь з n невідомими, відносно . Визначник цієї системи співпадає з визначником Вронського в точці і по припущенню він дорівнює 0. Тоді з нашої системи можемо знайти ненульовий розв’язок

Розглянемо функцію

, тоді за наслідком з теореми 2 теж є розв’язком рівняння L[y]=0. В силу нашої системи

Знайшли, що у нас є розв’язок нашого рівняння, який відповідає всім початковим умовам, а це означає що

, то це означає, що лінійно залежні – це суперечність умові теореми.

Висновок.

Визначник Вронського, складений для системи n розв’язків рівняння L[y]=0, або тотожно дорівнює 0, або не дорівнює 0 в жодній точці інтервалу, в якому коефіцієнти рівняння неперервні.

Дата добавления: 2015-08-13