Особливі точки

Розглянемо рівняння . Нехай де не виконуються умови теореми Коші:

В інших точках якогось околу теорема Коші виконується.

, при цих умовах

, коли і існує розв’язок рівняння у вигляді , і – у цьому випадку дотична буде вертикальна.

Приклади:

1)

- в точці (0,0) – вертикальна дотична

2)

Особлива точка (0,0)

Якщо х= 0

Якщо

І взагалі, якщо будемо рухатись вздовж прямої то

то

Границя залежить від того, який ми взяли напрямок. Точка, в якій не виконуються умови неперервності (не існує єдина границя), а в кожній точці її околу функція неперервна, то будемо її називати ізольованою особливою точкою.

Робимо заміну, таку щоб рівняння мало вигляд:

Випадок 1.

1)

- така точка називається вузлом

2)

- точка називається седловиною

3)

За рахунок вибору коефіцієнта С можемо для отримати значення спряжені з .

Заміна:

- поділимо на

Перейдемо до полярних координат

- отримана множина логарифмічних спіралей

Точка (0,0) - фокус

4)

Точка (0,0) - центр

Випадок 2.

Визначник дорівнює - так як це дискримінант. Значить в однорідній системі є ненульові розв’язки.

З цієї системи знаходимо:

Нехай

, вибрали, щоб не залежало ніяк.

Отже,

Точка (0,0) – вузол

Відрізняється від першого випадку тим, що не має інтегральної лінії, яка б не мала спільну дотичну.

Випадок 3.

Точка (0,0) – дискретний вузол

В загальному вигляді

Якщо в початку координат ця функція не буде мати визначеної границі

то особливі точки такі ж самі.

Дата добавления: 2015-08-13