Теорема Арцела

Із будь-якої функціональної послідовності рівномірно обмежених та рівностепенево-неперервних функцій можна вибрати підпослідовність, що збігається рівномірно.

Доведення.

Функція збігається рівномірно, тобто

Критерій Коші:

На відрізку виберемо послідовність точок , ця послідовність повинна бути злічена і всюди щільна, тобто для будь-якого маленького проміжку з обов’язково містить точку з цієї послідовності.

Чим більше точок, тим відстань буде зменшуватись на

Побудували ми цю послідовність, тоді розглядаємо точку . Розглянемо послідовність

Тоді виділяємо збіжну підпослідовність :

, то ми можемо позначити

Будемо розглядати цю послідовність на всьому проміжку. позначимо цю послідовність .

Розглянемо точку , і розглянемо послідовність . Це є числова послідовність.

Виділимо збіжну підпослідовність:

і т.д.

Отримаємо

- ці послідовності збігаються відповідно до точок , ,…

З цих послідовностей ми беремо по одному діагональному члену.

Утворимо послідовність В:

…

Оскільки кожна є частиною попередньої, то точки збіжності спільні.

Доведемо, що послідовність В рівномірно збігається. Треба показати таке:

Візьмемо

Функція була рівностепенево-неперервна, а це значить:

Виберемо таке, що відстань між точками менше , тоді для кожної цієї точки:

{Це критерій Коші для збіжності числової послідовності}

Для знайдемо таке, що

Лема: Якщо у= - функція визначена на інтервалі (х₀,х_n), графік якої є ламана лінія, причому кутові коефіцієнти послідовних ланок к₁, к₂,…,к_{n ,} (к₁ (х₀, х₁), к₂ (х₀, х₂), … к_n (х₀, х_n)) всі лежать між двома числами к і К, тобто к , то кутовий коефіцієнт будь-якої хорди теж належить цьому проміжку:

, к

k < < K,

тоді к< <K, що і треба було довести.

Дата добавления: 2015-08-13