Доведення теореми Піано

Розглянемо проміжок і на ньому будемо розглядати ламані.

Розглянемо

n=1

n=2

Поділимо проміжок на 2 частини і отримаємо x₁= x₀+ . На ньому

При ми розбиваємо проміжок на частин і в кожній з них проводимо ланку ламаної.

Для Mh – за лемою.

-М М

Всі кутові коефіцієнти ламаної задовольняють умові -М М. Тобто всі ламані належать області D. Утворимо функціональну послідовність Із виду цієї послідовності: вона рівномірно обмежена. Розглянемо – з леми. Тобто функції рівностепенево-неперервні.

Тоді . А тоді за теоремою Арцела із неї можна виділити підпослідовність. рівномірно збігається до на () Залишилось довести, що функція у= – це розв’язок диференційного рівняння. Оскільки , тоді якщо розглянемо , . Таким чином функція задовольняє початковій умові.

Треба показати, що функція в будь-якій точці () має похідну, що дорівнює ,. Функція - неперервна, тоді . Візьмемо і задамо х приріст і зафіксуємо його: 0< <h₁.

Для існування похідної досить показати:

< : <

Розглянемо цей модуль

+ + <

- рівномірно збігається до :

і можна записати:

Якщо розглянемо

, оскільки значення ламаної співпадають зі значеннями функції в цих точках.

Дата добавления: 2015-08-13