Пониження порядку лінійно однорідного диференційного рівняння

L[y]=y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+...+p_ny=0 - однорідне рівняння

Заміна y'=yz(x) недоречна, тому що втрачається лінійність рівняння.

Нехай нам відомо, що y₁(x) є частинковий розв'язок нашого рівняння

y=y₁z(x) – нова невідома функція.

…

Нове рівняння не має в своєму складі невідомої функції z. Тому u=z’ і отримуємо рівняння (n-1)го порядку.

Якщо у рівнянні немає останнього члена, що містить невідому функцію, то ми обов'язково отримаємо частковий розв'язок.

Нехай u₁, u₂,...,u_n-1 — ФСР для останнього рівняння.

z 1,

y y₁,

Доведемо, що це ФСР нашого рівняння. Припустимо супротивне, тобто що між рівняннями існує лінійна залежність.

- поділимо на y₁

Тоді u₁, u₂,...,u_n-1 є лінійно залежними, а це не так, тому що u₁,...,u_n складають ФСР. K часткових розв'язків лінійного однорідного рівняння дозволяють понизити його порядок на k одиниць.

Дата добавления: 2015-08-13