Стійкість за Ляпуновим.

Проблема нестійкості: якщо малі зміни початкових даних призводять до малих змін розв’язку, то задача буде стійкою.

Якщо ж малі зміни початкових даних призводять до різких змін розв’язку – нестійка.

Теорема (про стійкість за першим наближенням)

Постановка задачі

, i=1,2,…,n,

t-час;

- координати в n мірному просторі.

- траєкторія

= - незбурений розв’язок

Початкові дані:

,

Змінимо початкові умови ,…,

- збурений розв’язок

Визначення. Рух називається стійким по Ляпунову, якщо ,то

Стійкість – це неперервність розв’язку від початкових даних.

Визначення. Рух називається нестійким по Ляпунову, якщо: , ,

В будь-який момент часу точка траєкторії збурений рух знаходиться в достатньо малому околі відповідної точки незбуреного руху.

Припустимо, що є ;

Зробимо заміну і отримаємо ряд Тейлора == +

Нашу систему заміняємо системою першого порядку зі сталими коефіцієнтами

Теорема 1: Якщо

1) всі корені характеристичного рівняння першого наближення від’ємні,

2) всі функції задовольняють умову А) ,

3) всі корені характеристичного рівняння прості

То розв’язок системи буде стійким.

Теорема 2. Якщо

1) всі корені характеристичного рівняння першого наближення мають від’ємні дійсні частини;

2) якщо функції задовольняють умові А,

То розв’язок цієї системи стійкий.

Достатня умова нестійкості:

Якщо:

1)хоча б один корінь характеристичного рівняння системи першого наближення додатній або має додатну дійсну частину

2)всі задовольняють умові А,

то розв’язок нестійкий.

корінь характеристичного рівняння першого наближення.

виникає розв’язок , якщо 0 при ,то 0, >0 при , .

, ,; , - розв’язок нестійкий, - розв’язок стійкий

Дата добавления: 2015-08-13