Исследование устойчивости методом фазовой плоскости

Этот метод применяется к системам первого и второго порядков. Рассмотрим методику построения фазовой плоскости нелинейной системы второго порядка. В качестве координат примем отклонение выходной переменной от её установившегося значения и .

, (3.6.1)

, (3.6.2)

где – известные нелинейные функции. Это система второго порядка. Разделим уравнение (1) на уравнение (2). В результате этого исключится время.

. (3.6.3)

Уравнение (3) является уравнением фазовой траектории в координатах первого порядка. По её поведению можно судить об устойчивости или неустойчивости системы.

Метод фазовой плоскости подразделяется на ряд методов. Рассмотрим один из них.

Метод припасовывания (метод сшивания решений).

Рассмотрим нелинейную систему стабилизации

Рисунок 3.6.1 – Структурная схема нелинейной САУ

На рисунке 1

– нелинейная часть системы,

– передаточная функция линейной части системы.

Для конкретности будем полагать

– нелинейный (релейный) регулятор,

– угол поворота ротора двигателя,

– задающее воздействие,

– ошибка системы,

– управляющее воздействие на электродвигатель системы (управляющее напряжение),

– передаточная функция электродвигателя.

Эту систему опишем дифференциальными уравнениями

, (3.6.4)

, (3.6.5)

. (3.6.6)

Из (4) и (6) при следует

. (3.6.7)

Введём новую переменную . Тогда уравнение (7) можно представить в виде системы

, (3.6.8)

. (3.6.9)

Для получения уравнений фазовых траекторий разделим уравнение (9) на уравнение (8), получим

. (3.6.10)

В уравнении (10) разделим переменные с учётом того, что кусочно-постоянная функция (релейное управление).

. (3.6.11)

Для интегрирования уравнения (11) в левой и правой частях можно применить табличные интегралы.

Рассмотрим различные релейные элементы и соответствующие им фазовые траектории, изображенные на рис. 2-5.

Геометрическое место точек на фазовой плоскости, в которых происходит переключение реле, называется линией переключения (штриховые линии на рис. 2-5).

В случае рис. 2 фазовая траектория стремится к началу координат, где, вследствие отсутствия зоны нечувствительности в регуляторе, установится режим с высокочастотными противовключениями электродвигателя, что нежелательно.

Рисунок 3.6.2 – а) статическая характеристика регулятора (двухпозиционное реле), б) фазовая траектория

Рисунок 3.6.3 – а) статическая характеристика регулятора (трехпозиционное реле), б) фазовая траектория

Рисунок 3.6.4 – а) статическая характеристика регулятора (двухпозиционное реле с гистерезисом), б) фазовая траектория, в) переходный процесс

В случае рис. 3 в установившемся режиме угол поворота двигателя будет лежать в зоне нечувствительности реле, скорость будет равна нулю, электродвигатель включаться не будет.

В случае рис. 4, 5 фазовые траектории стремятся к предельному циклу как снаружи его, так и внутри (устойчивый предельный цикл – автоколебания).

Рисунок 3.6.5 – а) статическая характеристика регулятора (двухпозиционное реле с гистерезисом), б) фазовая траектория, в) переходный процесс

3.7 Критерий абсолютной устойчивости В.М. Пóпова

Абсолютная устойчивость – это устойчивость в целом нелинейной системы при задании её нелинейности в определённом классе.

Ниже будут рассматриваться статические характеристики, лежащие в заштрихованных секторах, как это показано на рис. 1.

Таким образом, сама нелинейность не имеет конкретного вида. О ней лишь известно, что она лежит в заданном секторе. Это является существенным достоинством данного метода.

Рисунок 3.7.1 – Зона расположения статической характеристики нелинейного звена

Будем рассматривать следующую систему, представленную на рис. 2.

Рисунок 3.7.2 – Структурная схема нелинейной САУ

На рис. 2 – статическая характеристика нелинейного звена (например, регулятора);

– передаточная функция линейной части системы (например, объекта управления).

Для определения устойчивости по критерию Попова используется следующая частотная характеристика Попова:

. (3.7.1)

Для сравнения приведём АФЧХ линейной части системы:

. (3.7.2)

Рассмотрим вначале случай, когда линейная часть системы устойчива (асимптотически устойчива или находится на границе устойчивости). В этом случае критерий читается так:

Система абсолютно устойчива, если при устойчивости линейной части через точку с координатами можно провести хотя бы одну прямую так, чтобы вся характеристика при изменении частоты от нуля до бесконечности находилась от неё справа.

Рисунок 3.7.3 – Частотная характеристика Попова

Данная прямая называется линией Попова. При обозначении осей на рис. 3 использовано разложение

.

На рисунке 3 представлен случай, когда замкнутая система абсолютно устойчива. На рисунке 4 представлен случай, когда критерий Попова не выполняется, но т.к. этот критерий является достаточным, то его невыполнение ещё не говорит о том, что система не является абсолютно устойчивой.

Рассмотрим теперь случай, когда линейная часть системы сама по себе неустойчива. Для применения критерия в данном случае надо ввести фиктивные цепи. (На рис. 5 показаны пунктиром).

Рисунок 3.7.4 – Частотная характеристика Попова. Случай невыполнения критерия Попова

Рисунок 3.7.5 – Исходная и эквивалентная структурные схемы нелинейной системы

На рис. 5 – фиктивное безынерционное звено. С учётом того, что , на компараторе 3 сигналы, проходящие по фиктивным цепям, взаимно уничтожаются.

Вводятся в рассмотрение фиктивные звенья

, (3.7.3)

С учётом (3) схему, изображённую на рис. 5, можно укрупненно представить в виде схемы, изображённой на рис. 6.

Задача сводится к выбору таким, чтобы звено было устойчивым. В этом случае критерий формулируется так:

Рисунок 3.7.6 – Приведённая линейная структурная схема

Система абсолютно устойчива, если через точку с координатами можно провести прямую линию, проходящую слева от характеристики . При этом характеристика должна лежать между прямыми, проходящими через начало координат с коэффициентами крутизны и (рис. 7).

Рисунок 3.7.7 – Область расположения статической характеристики нелинейного звена

Дата добавления: 2015-08-05