Исследование устойчивости методами Ляпунова

Методы исследования устойчивости Ляпунова позволяют исследовать устойчивость систем управления, описываемых линейными, нелинейными, дискретными, непрерывными, бесконечномерными уравнениями, а также уравнениями в частных производных.

Достоинство этого метода заключается в том, что для исследования устойчивости не требуется находить ни решения дифференциальных уравнений, ни рассчитывать корни.

Физическая суть методов Ляпунова. На рисунке 1 представлена фазовая траектория асимптотически устойчивой САУ. Стрелками указаны различные положения радиус-вектора .

Рисунок 3.5.1 – Фазовый портрет асимптотически устойчивой траектории

Радиус-вектор изображающей точки на рис. 1 определяется выражением

.

Условием асимптотической устойчивости являются условия

, или .

Для системы третьего порядка .

Для системы n -го порядка .

Помимо перечисленных функций об асимптотической устойчивости можно судить и по другим функциям, например, для системы 2-го порядка

.

Или другая четная функция

.

Функция , с помощью которой удаётся судить об устойчивости системы, называется функцией Ляпунова.

Для функции Ляпунова характерно то, что она является всегда положительной и обращается в 0 только в начале координат.

Функция , зависящая от всех координат вектора состояния, называется определённо положительной (отрицательной) в области , содержащей начало координат, если в этой области она везде положительна (отрицательна) кроме начала координат , где она обращается в ноль.

Функция называется знакоположительной (знакоотрицательной), если она в этой области удовлетворяет соотношению .

Признаками асимптотической устойчивости системы являются: существование для исследуемых уравнений определённо положительной функции и в любой момент времени , т.е. должна быть определённо отрицательной.

Дата добавления: 2015-08-05