Понятие о фазовом пространстве и фазовых траекториях

Состояние САУ определяется рядом координат. Например, систему

, (3.3.1)

где , , , – коэффициенты, можно определить координатами

, , . (3.3.2)

Систему уравнений

(3.3.3)

можно определить координатами

. (3.3.4)

Минимальное количество координат, полностью определяющих состояние системы, равно порядку системы. Вектор (матрица-столбец или матрица-строка), составленный из координат системы, полностью определяющих её состояние, называется вектором состояния системы.

Например, для системы (1) вектор состояния , для системы (3) вектор состояния .

При рассмотрении САУ широко используется понятие фазовых пространств.

Фазовое пространство – это пространство в прямоугольной системе координат, осями которой являются элементы вектора состояния.

Для системы второго порядка это фазовая плоскость. Для системы третьего порядка это трёхмерное фазовое пространство и т.д. Состоянию системы в каждый момент времени соответствует определённая точка в фазовом пространстве. Эта точка называется изображающей точкой. При изменении состояния системы изображающая точка перемещается, описывая траекторию, которая называется фазовой траекторией. Для временной привязки процесса в отдельных точках фазовой траектории проставляется время, которому эта точка соответствует.

Рассмотрим построение фазовых траекторий системы второго порядка

,

где – постоянная времени, – параметр затухания. При 1) система гранично устойчива, 2) система асимптотически устойчива, 3) система неустойчива. На рис. 1а представлены процессы изменения координаты (переменной) , на рис. 1б – скорости изменения координаты для трёх указанных случаев, на рис. 1в – фазовый портрет, построенный по указанным переменным.

Для построения фазовых траекторий, соответствующих трём переходным процессам, представленным на рис. 1, надо для ряда моментов времени по рис. 1а, 1б определить значения , и для каждого момента на рис. 1в построить точку. Соединив эти точки, получим соответствующие фазовые траектории. На рис. 1в стрелками показаны направления движения изображающих точек. Направление движения изображающей точки можно определить непосредственно по рис. 1в следующим образом. В верхней (нижней) полуплоскости , где – скорость изменения . При будет возрастать (уменьшаться). Это означает, что при данном на рис. 1в расположении осей фазовые траектории будут развиваться по часовой стрелке. Следует заметить, что, если поменять оси и местами, изображающая точка будет двигаться

Рисунок 3.3.1

против часовой стрелки. Как видно на рис. 1в, при асимптотической устойчивости (неустойчивости) изображающая точка будет стремиться к нулю (от нуля). При граничной устойчивости фазовая траектория будет замкнутой кривой 1. При колебательных процессах фазовые траектории имеют вид спиралей.

Дата добавления: 2015-08-05