Передаточные функции СРП (регулятора). Формула Тастина

Передаточная функция определяется выражением

. (2.10.1)

Передаточная функция описывает алгоритм переработки входной последовательности чисел в выходную последовательность . В соответствии с (1) закон (алгоритм) управления имеет вид

(2.10.2)

В качестве примера рассмотрим типовые регуляторы: ПИ-, ПД-, ПИД- регуляторы, которые в непрерывном времени в общем виде выглядят так:

. (2.10.3)

Операции дифференцирования в непрерывном времени соответствует разность

Тогда передаточная функция дискретного дифференциатора –

(2.10.4)

Операции интегрирования

сопоставляется суммирование. По формуле трапеций получим соответствующее разностное уравнение

. (2.10.5)

Для предыдущего значения

(2.10.6)

Вычитая из (5) (6), получим

(2.10.7)

В отличие от (5) выражение (7) является рекуррентным. (Рекуррентность – свойство последовательности, заключающееся в том, что любой ее член может быть вычислен по значениям предыдущего или нескольких предыдущих членов). Выражение (7), в отличие от (5), требует запоминания только двух последних значений входной переменной. В операторном виде выражение (7) будет выглядеть так:

. (2.10.8)

Дискретная передаточная функция интегратора в соответствии с (8) выглядит следующим образом:

. (2.10.9)

Формула (9) называется формулой Тастина.

Дискретный позиционный сигнал с передаточной функцией определяются выражениями

. (2.10.10)

Помимо дискретной передаточной функции дифференциатора (4), полученной с применением конечных разностей, из формулы Тастина (9) можно получить более точную формулу дифференциатора

(2.10.11)

ПИД-регулятор в непрерывном времени с его передаточной функцией описываются выражениями

. (2.10.12)

ПИД-регулятор в дискретном времени имеет передаточную функцию, записанную с помощью выражений (9)-(11), в виде

. (2.10.13)

Дискретное уравнение ПИД-регулятора можно получить из второго равенства в (13), а именно

. (2.10.14)

Дата добавления: 2015-08-05