Определение показателей качества по корням характеристического уравнения

(См. пункт 1.8.1 «Корневые критерии устойчивости»). Корни характеристического уравнения определяют вид переходных процессов. Поэтому можно определить ряд показателей качества по корням характеристического уравнения, не рассматривая сами переходные процессы.

Пусть дано характеристическое уравнение системы

с корнями . При простых корнях характеристического уравнения собственная составляющая движения описывается уравнением

. (1.9.3.1)

Каждое слагаемое в выражении (1) называется модой. Для асимптотической устойчивости всей системы необходимо и достаточно, чтобы каждая мода с течением времени стремилась к нулю, а для этого корни должны иметь отрицательные действительные части, т.е. на комплексной плоскости корни должны лежать слева от мнимой оси.

Рисунок 1.9.3.1 – Заданная область расположения корней

Моду для пары комплексно сопряженных корней можно представить в виде

. (1.9.3.2)

В случае одного действительного корня в (2) будет отсутствовать составляющая . Самое медленное затухание будет у мод, расположенных ближе всего к оси мнимых. Расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости. Степень устойчивости является показателем качества переходного процесса. Рассмотрим изменение амплитуды у самой медленно затухающей моды

. (1.9.3.3)

Через промежуток времени, равный времени переходного процесса , амплитуда станет равной , где введено в предыдущем пункте, то есть

,

откуда

. (1.9.3.4)

Таким образом, по степени устойчивости можно определить время переходного процесса . Если , то при , и будем иметь

. (1.9.3.5)

Из формул (4) и (5) следует, что размерность корней характеристического уравнения равна с^-1.

Как следует из (2), действительная часть характеризует затухание, а мнимая часть – частоту колебаний. Для конкретной моды вводится понятие колебательности

. (1.9.3.6)

Колебательностью всей системы является величина

. (1.9.3.7)

Численное значение колебательности не совпадает с колебательностью из предыдущего раздела, но характер поведения системы в зависимости от величины той или другой колебательности аналогичен. По корням характеристического уравнения можно определить затухание за период

. (1.9.3.8)

Для того чтобы система хорошо функционировала, её корни на плоскости корней должны занимать вполне определённое место, это место определяется степенью устойчивости (она должна быть не менее заданной) и колебательностью (она должна быть не больше заданной) (рис. 2).

Рисунок 1.9.3.2

Корни характеристического уравнения должны лежать в заштрихованной области. Из формулы (8)

, (1.9.3.9)

при .

Дата добавления: 2015-08-05