Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи

В САУ с ЦВМ, как правило, входят АЦП и ЦАП. Процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный состоит из трёх этапов:

а) квантование по времени;

б) квантование по уровню;

в) кодирование.

Квантование по времени связано с последовательностью (очередностью) выполнения математических операций.

Квантование по уровню необходимо для представления информации в цифровом виде. Это квантование производится следующим образом: весь диапазон изменения непрерывной величины разбивается на равных частей

,

где – шаг квантования по уровню (цена младшего разряда). В результате сигнал приобретает ступенчатый вид, показанный на рис. 1.

Кодирование представляет собой преобразование входного сигнала в двоичный параллельный код УЦВМ. Это преобразование осуществляется с помощью триггеров, механическая модель которых показана на рис. 2а. Триггер представляет собой устройство с двумя

Рисунок 2.2.1

устойчивыми положениями равновесия. Одному положению присваивается значение 0, другому – значение 1. Каждому разряду соответствует свой триггер. При перебрасывании триггера из положения «1» в «0» в старший разряд посылается сигнал на переключение соответствующего ему триггера и т.д. На рис. 2б представлена функциональная схема АЦП.

Рисунок 2.2.2 – Функциональная схема преобразователя АЦП

На рис. 2 – непрерывный сигнал, который надо преобразовать в двоичный параллельный код,

& – элемент «И», который срабатывает только тогда, когда на все его входы подаются отличные от 0 сигналы,

ГПИ – генератор последовательности импульсов,

– сигнал обратной связи.

– эталонное напряжение,

– количество разрядов,

– сигналы соответствующих разрядов,

– весовые коэффициенты разрядов.

ЦАП входит составной частью в АЦП. Для многих цифровых систем шаг квантования сигнала по уровню является настолько малым, что эффект квантования по уровню вызывает несущественное влияние и им часто пренебрегают, однако в высокоточных системах его приходится учитывать.

2.3 Понятие о решётчатых функциях и разностных уравнениях

Цифровая САУ получает входную информацию и выдаёт выходную информацию в дискретные моменты времени. Поэтому при исследовании цифровых систем рассматривается их поведение только в дискретные моменты времени , где такт счёта, – номер такта счёта. Для этого вводится понятие решётчатых функций.

Решётчатой называют функцию, которая существует лишь в дискретные равноотстоящие друг от друга значения времени и в промежутках между этими значениями равна нулю.

На рис. 1 сплошными вертикальными линиями показана решетчатая функция .

Непрерывной функции (штриховая кривая) соответствует одна и только одна решётчатая функция, а одной решётчатой функции соответствует бесконечное количество непрерывных функций.

Рисунок 2.3.1

Часто в цифровых САУ используется безразмерное время. Пусть безразмерное непрерывное время определено выражением

, (2.3.1)

тогда безразмерное дискретное время будет

(2.3.2)

Непрерывные системы обычно описываются дифференциальными уравнениями. Цифровые системы описываются разностными уравнениями. Рассмотрим разностные уравнения и их соотношения с дифференциальными уравнениями. Для операции дифференцирования можно записать

,

т.е. операции дифференцирования с точностью до коэффициента соответствует операция вычитания (разность).

В безразмерном времени разности обозначают так:

– первая прямая разность,

(2.3.3)

– первая обратная разность,

где – оператор «дельта», – оператор «набла».

Аналогом второй производной по времени являются вторая прямая и обратная разности.

(2.3.4)

.

Аналогично можно получить разности более высоких порядков.

Дискретным аналогом интеграла является полная сумма

. (2.3.5)

Выше была установлена связь между производной и конечными разностями и интегралом и суммой. Дифференциалы и интегралы используются для описания систем в непрерывном времени в виде дифференциальных и интегральных уравнений. Поведение цифровой системы в дискретные моменты времени описывается разностными уравнениями. Разностными уравнениями можно описать и непрерывную систему, но её поведение будет характеризоваться только в дискретные моменты времени. Рассмотрим связь между дифференциальными и разностными уравнениями на примере. Пусть дано дифференциальное уравнение

. (2.3.6)

С помощью полученных выше соотношений составляем разностное уравнение, используя обратные разности

(2.3.7)

или

, (2.3.8)

или

, (2.3.9)

где

. (2.3.10)

Если , то разностное уравнение называется однородным, если , то разностное уравнение называется неоднородным.

В общем случае разностное уравнение можно представить в виде

(2.3.11)

(11) – разностное уравнение k -го порядка. Для его решения необходимо знать начальные условия, т.е. значения в предыдущие моменты времени .

Для преобразования дифференциального уравнения в алгебраическое используют оператор дифференцирования . Для решения разностного уравнения путём сведения его к алгебраическому уравнению используют оператор сдвига , так что

и т.д. (2.3.12)

С помощью оператора сдвига уравнение (11) перепишется в виде

(2.3.13)

откуда формально можно записать

, (2.3.14)

где – передаточная функция цифровой системы. Если в знаменатель приравнять к нулю, то получится характеристическое уравнение, соответствующее разностному уравнению (11).

. (2.3.15)

2.4 Z -преобразование (дискретное преобразование Лапласа)

Выше разностные уравнения были получены из дифференциальных уравнений приближённым методом с помощью конечных разностей. Для получения точных разностных уравнений используется z -преобразование или дискретное преобразование Лапласа. Если для непрерывных систем используется обычное преобразование Лапласа

, (2.4.1)

то дискретное преобразование Лапласа в безразмерном времени имеет вид

. (2.4.2)

В размерном времени

. (2.4.3)

Функция называется оригиналом, а – её z- отображением, – символ преобразования.

С помощью z- преобразования разностные уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям, которые решаются гораздо легче, чем разностные, а затем к полученным решениям применяют обратное z- преобразование, которое обозначается так:

, (2.4.4)

в результате чего получаем разностные уравнения.

Найдём z -преобразования простейших функций времени.

1) единичная ступенчатая функция

Последнее выражение представляет собой геометрическую прогрессию.

2) линейная функция времени

Аналогичным образом можно найти z -отображения и других функций времени.

Для решения разностных уравнений надо находить z -отображения не только для функций времени, стоящих в правой части уравнения, а и для искомых функций, которые обычно записываются в левой части разностного уравнения.

Для их преобразования используют ряд свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Некоторые основные свойства z- преобразования.

· свойство линейности.

. (2.4.5)

· теорема сдвига.

Если временное запаздывание равно целому числу тактов счёта , то

формула сдвига вправо

, (2.4.6)

формула сдвига влево

. (2.4.7)

· изображение прямых и обратных разностей.

(2.4.8)

(2.4.9)

· теорема о начальном и конечном значении оригинала.

, (2.4.10)

. (2.4.11)

· теорема свёртки.

, (2.4.12)

где

. (2.4.13)

· обратное z -преобразование.

Обратное z -преобразование позволяет найти оригинал по его z -отображению . Это преобразование обозначается так:

. (2.4.14)

Существует несколько методов обратного z -преобразования:

а) метод неопределённых коэффициентов.

Пусть найдено в виде

. (2.4.15)

Пусть знаменатель в (15) имеет простых корней , тогда его можно представить в виде

, (2.4.16)

т.е. выражение (15) можно представить в виде

(2.4.17)

где – неопределённые коэффициенты. Эти коэффициенты определяются следующим образом. Выражение (17) приводится к общему знаменателю. Затем выражения (15) и (17) приравниваются друг другу. В полученном выражении приравниваются числители. В полученном равенстве приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях . Из полученной системы уравнений находятся неизвестные коэффициенты . В результате вместо сложного выражения (15) получается выражение (17), состоящее из суммы элементарных функций.

Дата добавления: 2015-08-05