Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравнений

. (3.5.1.1)

– в общем случае нелинейные функции.

Теорема Ляпунова. Если для системы (1) в области , содержащей начало координат, существует определённо положительная функция , полная производная которой по времени , взятая в силу системы (1), будет определённо отрицательной, то начало координат будет асимптотически устойчивым при условии, что начальные условия взяты из области .

Пусть для системы (1) существует функция Ляпунова

. (3.5.1.2)

Фраза “полная производная по времени, взятая в силу системы (1)” означает следующее:

. (3.5.1.3)

Пример. Пусть дана система нелинейных уравнений

(3.5.1.4)

Выберем в качестве функции Ляпунова функцию

, (3.5.1.5)

где

. (3.5.1.6)

В соответствии с (3) получим полную производную по времени.

Примечание: цифра над равенством указывает на то, что преобразование осуществлено с использованием формулы (4).

При выполнении условий (6) и

(3.5.1.7)

функция (определенно отрицательна).

Таким образом, при выполнении условий (6) и (7) начало координат системы (4) будет асимптотически устойчивым при любых начальных условиях, т.е. будет иметь место асимптотическая устойчивость в целом (глобальная устойчивость). Теорема Ляпунова дает достаточные условия асимптотической устойчивости.

Дата добавления: 2015-08-05