Теорема Барбашина-Красовского

Теорема Ляпунова требует, чтобы в течение всего переходного процесса было (рис. 1а). Очевидно, что в случае, изображенном на рис. 1б, система также будет асимптотически устойчивой. Теорема Барбашина-Красовского охватывает и этот случай.

Рассматривается система (3.5.1.1).

Теорема. Если для системы (3.5.1.1) в области существует определённо положительная функция , такая, что её полная производная по времени, взятая в силу системы (3.5.1.1), будет знакоотрицательной ( ), причём множество точек, где , не содержит целых траекторий кроме начала координат, то положение равновесия будет асимптотически устойчиво при начальных условиях из области .

Рисунок 3.5.2.1 – Характеры изменения функции Ляпунова

Пример. Пусть дано уравнение маятника (1), изображенного на рисунке 2.

Рисунок 3.5.2.2 – Математический маятник

, (3.5.2.1)

. (3.5.2.2)

Умножим уравнение (1) на . Получим

.

Это уравнение преобразуется к виду

, (3.5.2.3)

где

. (3.5.2.4)

Т.к. функция обращается в 0 только при , а во всех остальных случаях является положительной, то функция является определённо положительной. Как видно из (4), – полная энергия системы. В данном случае является кинетической энергией, а второе слагаемое является потенциальной энергией. В правой части (3) стоит функция рассеяния . Если , то рассеяние энергии колебаний отсутствует. Покажем, что такая ситуация может быть только в начале координат, где . Для этого предположим, что

. (3.5.2.5)

Т.к. функция не зависит от , то она является знакоотрицательной. Из условия следует

. (3.5.2.6)

Подставим (5), (6) в (1). Получим

,

т.е. условие может выполняться только в начале координат. Таким образом, выполняются все условия теоремы Барбашина-Красовского.

Теорема Барбашина-Красовского так же, как и теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости, даёт достаточные условия устойчивости. Невозможность найти функцию Ляпунова ещё не говорит о том, что система не является асимптотически устойчивой.

Рассмотренный пример иллюстрирует один из методов построения функций Ляпунова. Функция Ляпунова (4) пропорциональна полной энергии системы: сумме кинетической (первое слагаемое) и потенциальной (второе слагаемое) энергий. Таким образом, полная энергия системы может выступать в роли функции Ляпунова.

Дата добавления: 2015-08-05