Числовые функции. Прямая пропорциональность.

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его. Безусловно, все это требует от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществить в начальной школе пропедевтику понятия функции.

С этой целью выполняются упражнения, в которых рассматриваются различные функциональные зависимости между переменными. При этом, конечно, нет ни существующей символики, внимание обращается на взаимосвязи, отношения.

Приведем примеры нескольких заданий, выполнение которых способствует подготовке учащихся начальных классов к изучению понятия функции:

1. 39 + а. Вычисли значения суммы, если а принимает значения: 0, 6, 15, 31, 46, 52.

При выполнении этого задания устанавливается зависимость значения суммы 39 + а от значений переменной а. Эта зависимость – функция с областью определения {0, 6, 15, 31, 46, 52}.

2. Заполни таблицу:

b
16 + b

Это задание по своей сути аналогично заданию 1, но предложено в другой форме.

3. Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 12.

С помощью таблицы устанавливается функциональная зависимость значений второго слагаемого от значений первого. Область определения этой функции образуют числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

4. Найди площадь квадрата, если один квадрат имеет длину стороны 1 см, второй – 2 см, третий – 3 см.

При решении данной задачи устанавливается зависимость между длиной стороны и площадью квадрата. Эта зависимость – функция, так как каждому значению длины стороны квадрата сопоставляется единственное значение его площади.

Кроме этого, проводится разнообразная работа над выражением с переменной, на которое можно смотреть как на функцию с одной переменной:

f (b) = b – 9

f (c) = 30 – c

f (b) = 60: b.

Независимая переменная – аргумент (х),

зависимая переменная – функция (у).

у = х - 9

у = 30 – х

у = 60: х.

С функцией связаны свойства:

- область определения функции,

- множество значений функции,

- вид монотонности (возрастание или убывание),

- вид функции (пропорциональная зависимость, линейная),

- экстремум (наибольшее и наименьшее значения).

С этой целью можно проводить специальную работу. Например:

30 - с
Свойство	Вопрос	Ответ
1. Область определения	Какие значения может принимать переменная с?	0, 1, 2, …, 30
2. Область значений	Какие значения принимает сама разность?	30, 29, …, 0
3. Вид монотонности	Как изменяется разность с изменением вычитаемого?	С увеличением вычитаемого значение разности уменьшается.
4. Экстремумы	При каком значении с разность будет наибольшей и наименьшей?	0, 30

Прямая пропорциональность в начальных классах специально не изучается, но при решении текстовых задач учащиеся встречаются с различными зависимостями между величинами, в том числе и с прямой пропорциональностью.

Приведем примеры таких задач.

За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

В задаче рассматриваются величины – производительность, время работы токаря и количество сделанных им деталей, причем первая величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы – величины прямо пропорциональные, так как их отношение равано некоторому числу, не равному нулю, а именно – числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой y, время работы х, а производительность – k, то получим, что или y = kx, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 1) 16: 8 = 2 (дет) 2) 48: 2 = 24 (ч) Ответ: 24 часа.

2 способ: 1) 48: 16 = 3 (раза) 2) 8 × 3 = 24 (ч) Ответ: 24 часа.

Решая задачу первым способом (способ нахождения постоянной величины), мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что y = 2 x, нашли значение x при условии, что y = 48.

При решении задачи вторым способом (способ кратного отношения) мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.

Дата добавления: 2015-07-26