Ноль-мерныя множества. Мера Лебега множества рациональных чисел и Канторова совершенного множества.

Определение1. Если внутренняя мера ограниченного множества А равна внешней мере множества А, то множество А называется измеримым по Лебегу, а общее значение внутренней и внешней мер называется мерой Лебега множества А и обозначается .

Определение 2. Если множество А измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нулю, то множество А называется нульмерным.

Примеры нульмерных множеств: конечное, ограниченное, счетное, множество Кантора.

Определение 3. Замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, называется совершенным множеством.

Примерами совершенного множества являются , , R, Ø.

ТЕОРЕМА 4. Непустое ограниченное совершенное множество есть или отрезок, или получается из отрезка вычитанием конечного или счетного множества взаимно непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с отрезком.

Интересным примером совершенного множества является множество Кантора. Рассмотрим его.

Разделим отрезок [0,1]= F точками и на три равные части и вычтем из отрезка F средний интервал (, ) = . Обозначим = = . Каждый из оставшихся отрезков опять разделим на три равные части и из каждого вычтем средний интервал, т.е. из вычтем множество Получим множество . Этот процесс продолжим неограниченно. В результате из отрезка F вычтем открытое множество , являющееся объединением счетного множества интервалов, которые попарно не пересекаются и не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с отрезком F. Оставшееся множество называется множеством Кантора и обозначается P. По теореме 4. множество Кантора является совершенным.

ТЕОРЕМА 5. Множество Кантора имеет меру равную нулю: .

Определение 6. Пусть F - ограниченное замкнутое непустое множество, α=inf F, b=sup F; . Число называется мерой замкнутого множества F и обозначается .

Доказательство. Множество Кантора является ограниченным замкнутым множеством. Поэтому по определению меры замкнутого множества имеем .

Дата добавления: 2015-07-24