Читайте также:
|
ТЕОРЕМА 1. Если существует интеграл Римана 
то функция 
интегрируема по Лебегу на отрезке 
и её интеграл Лебега 
равен интегралу Римана
Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка [a;b] на 
частей 
и соответствующие этому разбиению суммы Дарбу 
где 
Построим функции 
при 
при 
. Это простые функции и 
С ростом n отрезок, по которому вычисляется число 
уменьшается, следовательно, 
увеличивается. Поэтому последовательность 
монотонно возрастает: 
Аналогично последовательность 
монотонно убывает: 
Так как 
и 
, то существуют пределы 
В силу неравенств 
по теореме Лебега о предельном переходе заключаем, что функции 
и 
интегрируемы по Лебегу на отрезке [a;b] и 
Отсюда по теореме (Ограниченная функция 
интегрируема по Римону на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой пределы 
, 
) имеем 
Следовательно, 
почти всюду на 
. Но 
и 
почти всюду на . Значит, функция 
интегрируема по Лебегу на и 
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 507 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Ноль-мерныя множества. Мера Лебега множества рациональных чисел и Канторова совершенного множества. | | | Определение интеграла Лебега и его основные свойства |