Мощность континуума и ее свойства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если множество А эквивалентное отрезку [0, 1], то говорят, что множество А имеет мощность континуума или мощность c.

ТЕОРЕМА 2. Каждый из промежутков [a, b], (a, b), (a, b], [a, b) имеет мощность с.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что А=[ a, b ], u =[0, 1]. Формула у = a +(b – a) х устанавливаетвзаимно однозначное соответствие между множествами А і u (А={ у }, u ={ х }). Поэтому, А~ u, значит множество А имеет мощность с. Докажем, что промежуток (a, b) имеет мощность с. Из отрезка [ a, b ] отбросим 2 пункта a и b. Получим интервал(a, b). По теореме: Когда бесконечное множество S является несчетным, а А - его конечное или счетноеподмножество, то S\A~S, имеем, что (a, b)~[ a, b ]. Так как [ a, b ]~[0, 1], то (a, b)~[0, 1], это значит, что интервал (a, b) имеет мощность с.

ТЕОРЕМА 3. Множество R всех действительных чисел имеет мощность с

ТЕОРЕМА 4. Множество J всех иррациональных чисел имеет мощность с.

ТЕОРЕМА 5. Множество Т всех трансцендентных чисел имеет мощность с, т.е. это множество не является пустым, т.е. трансцендентные числа существуют.

ТЕОРЕМА 6. Объединение конечного или счетного множество множеств мощностей с имеет мощность с.

ТЕОРЕМА 7. Когда множество А состоит из элементов , которые отличаются n значками х ₁, х ₂ ,... х_n, каждый из которых независимо один от второго принимает множество значений мощности с, то данное множество А={ } имеет мощность с.

ИТОГ. Множество всех пунктов евклидового n-мерного пространства имеет мощность с.

Дата добавления: 2015-07-24