Счетность множества рациональных чисел.

ТЕОРЕМА 1. Множество Q всех рациональных чисел является счетным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что счетным является множество Q+, т.е. множества всех положительных рациональных чисел. Рассмотрим множество всех дробей вида , где p=1, 2, 3,..., q=1, 2, 3,.... Это множество является объединением счетного множество следующих счетных множеств:

{ },

{ },

{ },

.......

Поэтому по теореме: Объединение счетного множество счетных множеств, есть счетное, множество всех дробей рассмотренного вида является счетным, т.е. счетным является Q+. Рассмотрим теперь множество Q- (множество всех отрицательных рациональных чисел). Оно также является счетным, ведь эквивалентное множеству Q+. Когда теперь учесть, что Q=Q₊ÈQ_–È{0},и использовать след. теоремы: Объединение конечного числа счетных множеств является счетным множествам, Объединение конечного множества и множество счетного есть множество счетное, то получим, что множество Q будет счетным.

ИТОГ. Множество всех рациональных чисел, которые принадлежать любому отрезку, является счетным.

ТЕОРЕМА 2. Когда множество А состоит из элементов , которые отличаются n значками х ₁, х ₂ ,... х_n, каждый из которых независимо один от второго принимает счетное множество значений, то множество А является счетным

ИТОГ 1. Множество всех пунктов (х, у) плоскости, в которых обе координаты являются рациональными числами, будет счетным.

В общем случае множества всех пунктов n-мерной эвклидовой просторы с рациональными координатами будет счетным.

ИТОГ 2. Множество всех многочленов Р _n (x)= a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n– 1}+...+ a_n с рациональными коэффициентами, является счетным.

Дата добавления: 2015-07-24