Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется такая функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов:

Если m<n, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.

Заметим, что всякая постоянная величина может рассматриваться как многочлен нулевой степени: С=С х⁰, таким образом, многочлены являются также рациональными функциями.

Приведем некоторые сведения справочного характера, касающиеся многочленов.

Теорема 18.1. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

§ Корнем многочлена P_n (x) называется такое значение х₀ переменной х, при котором многочлен обращается в нуль: P_n (x₀)=0.

Теорема 18.2. Если х₁ есть корень многочлена P_n(x), то многочлен делится без остатка на х-х₁, т.е. P_n (x)=(x-x ₁)× P_{n -1}(x),

где P_{n- 1} (x) – многочлен степени n-1.

Теорема18.3. Всякий многочлен с действительными коэффициентами степени 3 имеет по крайней мере один действительный корень.

Теорема18.4. Всякий многочлен c действительными коэффициентами P_n(x) можно представить в виде

При этом , а все квадратные трехчлены не имеют корней, т.е. .

§ Степень k_i в разложении многочлена называется кратностью корня х_i (i =1,…, l).

Задача интегрирования многочленов не представляет трудностей, поэтому рассмотрим интегрирование алгебраических дробей (т.е. рациональных функций со степенью знаменателя больше нуля).

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, разделив числитель на знаменатель:

.

(пример см. в практической части)

§ Правильные рациональные дроби вида:

I. ; III. ;

II. ; IV. ;

где A,c,M,N,p,q – действительные числа, называются простейшими рациональными дробями I, II, III, IV типов.

Теорема 18.5. (первая об отделении)

Всякую правильную рациональную дробь вида

можно представить единственным образом в виде суммы:

где A – некоторое действительное число.

Теорема 18.6. (вторая об отделении)

Всякую правильную рациональную дробь вида

можно представить единственным образом в виде суммы:

где M, N – некоторые действительные числа.

Последовательно применяя теоремы об отделении, любую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители:

,

можно представить в виде суммы простейших дробей:

Для нахождения неопределенных коэффициентов A ₁ ,А ₂ ,…,M ₁ ,N ₁ ,… можно применить метод сравнения коэффициентов:

- В правой части равенства (*) приводят дроби к общему знаменателю Q_n (x), в результате получают тождество , где S_{n -1}(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами.

- Так как в полученном равенстве знаменатели равны, то равны и числители: .

- По теореме о равенстве многочленов приравнивают коэффициенты в обеих частях последнего тождества, получив систему n линейных уравнений, из которой и определяют искомые коэффициенты.

Также для нахождения неопределенных коэффициентов можно применять метод отдельных значений аргумента: в равенстве аргументу х придают конкретные значения, что превращает это равенство в линейное уравнение относительно искомых коэффициентов. Обычно при этом полагают вместо x значения корней многочлена Q_n (x).

Пример 1.

Приравнивая числители, получаем: х +1= А (х -1)²+ Вх + Сх (х -1).

Положим х= 0, получим А =1; при подстановке х =1 получим В =2.

Для нахождения С возьмем любое значение, например, х =-1, получим 0=4+2 С -2, откуда С =-1. Таким образом, разложение имеет вид:

.

Пример 2.

Приравнивая числители и приводя подобные слагаемые в правой части, получаем: 1= х ²(А+В)+ Сх +2 А. Отсюда получаем систему уравнений:

Следовательно, А =1/2, В =-1,2, С =0, и искомое разложение имеет вид: .

Таким образом, для того, чтобы проинтегрировать правильную алгебраическую дробь, следует разложить ее на элементарные дроби и проинтегрировать каждое слагаемое:

I. ;

II. ;

III.

;

IV.

Первый интеграл в сумме вычисляется просто:

Вычислить второй интеграл позволяет рекуррентная формула, которую мы запишем без вывода:

.

В частности,

.

Итак, сформулируем общее правило интегрирования рациональных дробей:

1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, разделив числитель на знаменатель.

2. Правильную дробь разложить на простейшие рациональные дроби при помощи метода неопределенных коэффициентов.

3. Проинтегрировать полученное разложение.

Пример 1. Найти .

Так как , то

.

Пример 2. Найти

Так как , то

.

Дата добавления: 2015-07-24