Интегрирование тригонометрических выражений

Для вычисления интегралов вида :

если m – четное, n – нечетное делают подстановку t =sin x,

если m – нечетное, n – четное делают подстановку t =cos x,

и используют основное тригонометрическое тождество sin² x +cos² x =1;

если m и n – четные положительные числа, используются тригонометрические тождества

, позволяющие свести задачу к одному из первых двух интегралов;

если m и n – отрицательные целые числа одинаковой четности, используются тригонометрические тождества:

.

Пример 1.

Пример 2. (14-й интеграл из таблицы)

;

преобразуем полученное выражение:

.

Таким образом, .

Аналогично вычисляется интеграл .

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Для вычисления интегралов вида

используются тригонометрические тождества:

;

;

.

Пример.

.

В общем случае для вычисления интегралов вида

,

где R – рациональная функция двух аргументов,

используется универсальная тригонометрическая подстановка

; при этом .

Если R – четная по совокупности аргументов, т.е.

R (-sin x, -cos x)= R (sin x, cos x),

то удобнее использовать подстановку

; при этом .

Пример 1.

Подынтегральная функция от sin x и cos x не является четной по совокупности аргументов (при замене sin x на –sin x и cos x на –cos x она изменится). Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Пример 2.

подынтегральная функция от sin x и cos x является четной по совокупности аргументов. Действительно,

;

следовательно, применяя подстановку t = tg х, получаем:

.

Дата добавления: 2015-07-24