Положим . Тогда

.

Для вычисления интегралов вида

, можно применять подстановку x=a× sin t;

, можно применять подстановку x=a× tg t;

, можно применять подстановку .

Пример. Найти .

.

Заключение.

Операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования. Не всегда удается подобрать правило для интегрирования какой-либо функции, или же выбранный способ интегрирования может оказаться излишне громоздким. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Для выбора наилучшего, более короткого и легкого способа интегрирования требуется изобретательность и навык в применении рекомендуемых приемов интегрирования.

Более того, есть функции, первообразные для которых, хотя и существуют (как известно, для любой непрерывной функции существует первообразная), но не могут быть выражены через элементарные функции. Такие функции называют неквадрируемыми, и говорят, что интеграл от такой функции «не берется». Приведем примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:

- интеграл Пуассона (теория вероятностей),

- интегральный логарифм (теория чисел),

- интегралы Френеля (физика),

- интегральные синус и косинус,

- интегральная показательная функция.

§19. Определенный интеграл

19.1. Задача о площади криволинейной трапеции

§ Пусть на отрезке [ a; b ] задана непрерывная неотрицательная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ох, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Найдем площадь этой трапеции. Для этого отрезок [ a; b ] разобьем точками на n частичных отрезков [ x ₀; x ₁], [ x ₁; x ₂],… [ x_{n -1}; x_n ].

В каждом частичном отрезке [ x_{i -1}; x_i ] (i =1,…, n) возьмем произвольную точку с_i и вычислим в ней значение функции .

Умножим значение функции на длину соответствующего частичного отрезка . Полученное произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой .

Составим сумму всех таких произведений:

.

Эта сумма равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна искомой площади криволинейной трапеции: .

С уменьшением всех величин (очевидно, при этом увеличивается количество частичных отрезков) точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой возрастает и точность полученной формулы для площади увеличивается. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает, а :

.

19.2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Рассмотрим теперь произвольную функцию , определенную на отрезке [ a; b ] и проделаем те же действия. Сумма вида называется интегральной суммой функции на отрезке [ a; b ], число - диаметром разбиения.

§ Если интегральная сумма имеет предел S, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора средних точек с_i, то этот предел называется определенным интегралом от функции
на отрезке [a; b] и обозначается :

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [a; b] – областью (отрезком) интегрирования.

Теорема 19.1. Если функция непрерывна на отрезке [ a; b ], то определенный интеграл существует (говорят, что функция интегрируема на этом отрезке).

19.3. Свойства определенного интеграла

Из определения определенного интеграла следует ряд свойств:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: ;

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: ;

3. Для любого действительного числа с: ;

4. ;

5. Если функция интегрируема на [ a; b ] и a<c<b, то

(это свойство называется аддитивностью определенного интеграла)

6. Если с – постоянное число и функция интегрируема на [ a;b ], то

7. Если функции и интегрируемы на [ a; b ], то

8. Если и интегрируема на [ a; b ], то

9. Если и эти функции интегрируемы на [ a; b ], то

10. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения интегрируемой функции на [ a; b ], то

Теорема 19.2. («о среднем»):

Если функция непрерывна на отрезке [ a;b ], то существует точка такая, что .

Доказательство: По свойству 10 имеем

, или , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на [ a; b ]. Поскольку – непрерывная функция, то она достигает на этом отрезке любого значения между наименьшим и наибольшим. В частности, существует такая точка , что , что и требовалось доказать.

Пусть интегрируема на отрезке [ a; b ]. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Заметим, что эта функция непрерывна. Более того, справедлива

Теорема 19.3. Интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции, т.е.

.

Доказательство: Пусть x – точка непрерывности функции . Вычислим производную функции по определению:

.

Поскольку функция непрерывна в точке x, а , то можно считать, что непрерывна на отрезке (или , если ), следовательно, по теореме о среднем, на этом отрезке существует точка такая, что .

Таким образом,

(так как при ), что и требовалось доказать.

Если же х – точка разрыва 1 рода функции , то производной функции в этой точке не существует, но аналогичные рассуждения справедливы для лево- и правосторонней производной.

Тот факт, что интеграл с переменным верхним пределом, является одной из первообразных подынтегральной функции, позволяет вычислять определенный интеграл при помощи неопределенного:

Теорема 19.4. (формула Ньютона-Лейбница).

Пусть функция непрерывна на [ a; b ] и . Тогда .

Доказательство. Поскольку - первообразная функции , то при некотором значении константы С. Заметим, что , следовательно, . Таким образом,

, что и требовалось доказать.

§20. Вычисление и приложения определенного интеграла

20.1. Применение формулы Ньютона-Лейбница

Если первообразная от непрерывной подынтегральной функции может быть выражена в элементарных функциях, то для вычисления определенного интеграла удобно применять формулу Ньютона-Лейбница.

Пример. Вычислить

Найдем первообразную подынтегральной функции:

и применим формулу Ньютона-Лейбница:

.

Если подынтегральная функция кусочно-непрерывна на отрезке интегрирования, то есть имеет конечное число точек разрыва первого рода, то следует воспользоваться аддитивностью определенного интеграла.

20.2. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], и для нахождения неопределенного интеграла удобно применить подстановку x=j (t).

Теорема 20.1. Пусть: 1) функция j(t) непрерывна вместе со своей производной j´(t) на отрезке a £ t £ b,

2) множеством значений функции j(t) при является отрезок ,

3) j (a) =a, j (b) =b.

Тогда .

Доказательство. Пусть F (x) – первообразная для функции f (x). Тогда как производная сложной функции. Следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница, .

Пример. Вычислить

Положим x =2sin t, тогда dx =2cos t dt, ;

при x= 0, имеем t= 0; при x= 2, t= p/2. Таким образом,

.

20.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 20.2.. Если функции u (x) и v (x) непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то

.

Доказательство следует из формулы Ньютона-Лейбница.

Пример. Найти

Обозначим , тогда .

Следовательно,

.

20.4. Интегрирование четных и нечетных функций

Утверждение. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [- a; a ].

Если f (x) - нечетная функция, то ;

Если f (x) - четная функция, то .

Действительно, по свойству аддитивности,

.

Рассмотрим

.

Если f (x) – нечетная функция, т.е. f (- x) = -f (x), то

, следовательно, .

Если f (x) –четная функция, т.е. f (- x) =f (x), то

, следовательно, .

Пример. Найти

Произведение четной функции x² и нечетной функции sin2 x является нечетной функцией; интеграл в данном примере берется по симметричному интервалу. Следовательно,

.

20.4. Приложения определенного интеграла

Рассматривая задачу о площади криволинейной трапеции, мы доказали следующее утверждение:

Утверждение (геометрический смысл определенного интеграла):

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции под графиком этой функции:

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох, то ее площадь находится по формуле

Сходным образом можно рассмотреть задачу о работе переменной силы F (x) при перемещении материальной точки М вдоль оси Ох из точки х=а в точку x=b (a<b). Для этого разобьем отрезок [ a; b ] на частичные отрезки. Если длина отрезка [ x_{i -1}; x_i ] достаточно мала, то сила F (x) на этом отрезке изменяется незначительно и ее можно приближенно считать постоянной и равной значению F (x) в произвольной точке этого отрезка c_i. Поэтому работа при перемещении точки вдоль частичного отрезка [ x_{i -1}; x_i ] приближенно равна произведению , а работа силы на всем отрезке [ a; b ] приближенно равна интегральной сумме:

.

Это приближение тем точнее, чем меньше длина каждого частичного отрезка. Поэтому справедливо

Утверждение (физический смысл определенного интеграла):

Работа переменной силы, величина которой есть непрерывная функция F (x), действующей на отрезке [ a;b ], равна определенному интегралу от величины силы по отрезку [ a; b ]: .

Аналогично, при помощи определенного интеграла можно найти, например:

- путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=a до t=b со скоростью v (t): ;

- массу m неоднородного стержня переменной плотности r (х) на отрезке [ a;b ]: ;

- длину l дуги кривой у=f (x) от точки х=а до точки x=b:

,

или, если уравнение кривой задано параметрически: ,

то длина дуги кривой вычисляется по формуле

.

§21. Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток [ a; b ]конечный, а подынтегральная функция f (x) определена во всех точках отрезка [ a; b ] (а следовательно, ограничена на этом отрезке), называют еще собственным интегралом.

21.1. Несобственный интеграл I рода

- это интеграл с бесконечным пределом интегрирования.

§ Пусть функция f (x) непрерывна на луче [ a; +¥). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом I рода: .

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично, .

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой

, где с – произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость

1) ,

интеграл сходится.

2) ;

предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

3) ,

интеграл расходится.

21.2. Несобственный интеграл II рода

- это интеграл от неограниченной на конечном отрезке функции.

§ Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке [ a; b) и имеет в точке b разрыв II рода: . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом II рода:

.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке х=а, то полагают .

Если функция терпит бесконечный разрыв в средней точке , то полагают , и интеграл слева называют сходящимся, если оба интеграла в правой части равенства сходятся.

Замечание. Несобственный интеграл II рода может быть сведен к несобственному интегралу I рода при помощи подстановки , где х=с – точка разрыва II рода подынтегральной функции.

ТЕМА V – ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этом разделе мы будем в основном рассматривать функции двух переменных. С одной стороны, для функций двух переменных наблюдаются все важнейшие факты теории функций нескольких переменных, а с другой стороны, для двух переменных всегда можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

§22. Функции двух переменных

22.1. Основные понятия

§ Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Правило, по которому каждой паре чисел сопоставляется единственное действительное число z, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D и записывается в виде z=f (x; y). При этом числа х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией). Множество D=D (f) называют областью определения функции.

Рассмотрим декартову систему координат в трехмерном пространстве. Любой паре чисел соответствует точка М (х; у) в плоскости хОу. Областью определения функции может быть, например, вся плоскость хОу или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Заметим, что, строго говоря, областью называют связное множество точек, то есть множество, в котором любые две точки могут быть соединены линией, целиком лежащей в этом множестве. Линию, ограничивающую область D, называют границей области и обозначают . Если область состоит только из внутренних точек (не принадлежащих границе), ее называют открытой, если же область включает и границу, то ее называют замкнутой.

Если задана функция двух переменных z=f (x; y), то каждой точке М (х; у) области D в плоскости хОу соответствует точка Р (х; у;z), где z=f (x; y). Совокупность таких точек образует некоторую поверхность, которая и является геометрическим представлением данной функции.

22.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятия предела и непрерывности функции нескольких переменных вводятся аналогично понятиям предела и непрерывности функции одной переменной.

§ d-окрестностью точки М ₀(х ₀; у ₀) называется множество всех точек М (х; у) плоскости, для которых выполняется условие , то есть внутренних точек круга с центром в точке М₀ и радиусом d. Множество, состоящее из всех внутренних точек круга, за исключением самой точки М ₀, называется проколотой d-окрестностью точки М ₀.

Пусть функция z=f (x; y) определена в некоторой окрестности точки М₀ (х₀; у₀), за исключением, может быть, самой этой точки.

§ Число А называется пределом функции z=f (x; y) при (или при М (х; у)® М ₀(х ₀; у ₀)), если для любого существует такое, что для всех точек М (х; у) из проколотой d-окрестности точки М ₀(х ₀; у ₀) выполняется неравенство . Обозначают .

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка М стремится к точке М ₀.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной, позволяющими вычислять пределы суммы, произведения, отношения функций.

§ Функция z=f (x; y) называется непрерывной в точке М ₀(х ₀; у ₀), если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и имеет предел при М ® М ₀, равный значению функции в этой точке:

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области, аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке (ограниченность функции, достижимость наибольшего и наименьшего значений и т.п.)

22.3. Дифференцирование функций нескольких переменных

Рассмотрим функцию двух аргументов f (x; y). Поскольку х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Зафиксируем, например, переменную у, а переменной х придадим приращение D х. Тогда функция f (x; y) получит частное приращение по х: .

§ Если существует конечный предел , то он называется частной производной функции f (x; y) по переменной х в точке М (х; у) и обозначается или .

Аналогично определяется частная производная по у:

.

Таким образом, частная производная функции нескольких аргументов по одной из переменных определяется как производная функции одной этой переменной при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции нескольких аргументов вычисляются по таблице и правилам вычисления производных функции одного аргумента (остальные аргументы считаются постоянными).

Пример. Найти частные производные функции .

,

.

Если - сложная функция, т.е. , то

.

Частные производные называют частными производными первого порядка. Они, в свою очередь, являются функциями двух аргументов и имеют производные по обоим аргументам, которые называются частными производными второго порядка:

; ;

;

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.

Частная производная второго порядка или выше, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Теорема 22.1. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. В частности, .

Вычисляя частные производные функции f (x; y), мы рассматриваем изменения, которые происходят с функцией при движении точки М (х; у) в направлениях, параллельных осям Оу и Ох и определяемых, соответственно, векторами {1;0} и {0;1}. Но можно рассмотреть произвольное направление движения точки М, тогда скорость изменения функции будет характеризовать так называемая производная функции по направлению.

§ Производной функции f (x; y) по направлению называется число, определяемое формулой ,

где cos a, cos b - направляющие косинусы вектора , т.е. .

§ Дифференциал функции двух переменных имеет вид:

.

Как и в случае функции одной переменной, дифференциал – линейная (или главная) часть приращения функции и может быть использован для приближенных вычислений.

Имеет место инвариантность формы полного дифференциала, т.е. если рассматривать функцию , где , то

.

§ Второй дифференциал функции двух переменных имеет вид

.

§ Градиентом функции называется вектор .

Отметим, что градиент в каждой точке указывает направление наибольшего изменения функции.

§ Дивергенцией функции называется число .

Понятия градиента и дивергенции широко используются в физике.

Как и в случае функции одной переменной, при помощи производных можно исследовать функцию на экстремум. При этом точки, подозрительные на экстремум определяются из системы условий . Далее для каждой найденной точки (x ₀; y ₀) вычисляют значения

.

Функция имеет в точке (x ₀; y ₀) минимум, если ;

максимум, если ; не имеет экстремума, если .

§23. Двойной интеграл

23.1. Понятие двойного интеграла

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является двойной интеграл. Если к определенному интегралу приводит задача о площади криволинейной трапеции, то к двойному интегралу приводит задача об объеме цилиндрического тела.

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу – замкнутой областью D плоскости хОу, с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит . Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V.

Для этого разобьем область D произвольным образом на n областей D_i, площади которых равны , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) d_i. Тогда и тело V разбивается на цилиндрические столбики с основаниями D_i (один из них изображен на рисунке).

Возьмем на каждой подобласти D_i точку M_i (x_i; y_i) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой . Объем этого цилиндра примерно равен объему цилиндрического столбика. Таким образом, получаем: ,

причем это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры участков разбиения D_i. Обозначив - диаметр разбиения, за объем цилиндрического тела принимаем предел, к которому стремится полученная сумма при (при этом каждый участок разбиения стягивается в точку):

.

§ Для произвольной функции f (x; y), определенной в области D, если такой предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора внутренних точек M_i, он и называется двойным интегралом от функции f (x; y) по области D:

.

В этом случае функция f (x; y) называется интегрируемой в области D, D – областью интегрирования, х и у – переменными интегрирования, dxdy – элементом площади.

Таким образом, можем сформулировать

Утверждение (геометрический смысл двойного интеграла):

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела: .

Это утверждение можно использовать и для нахождения площади S плоской области D, поскольку объем прямого цилиндра высоты 1 численно равен площади основания: .

Кроме того, как в случае определенного интеграла, имеет место физический смысл двойного интеграла: масса плоской пластинки D с переменной плотностью равна двойному интегралу от плотности: .

Достаточное условие интегрируемости функции двух переменных также аналогично достаточному условию существования определенного интеграла:

Теорема 23.1. Если функция f (x; y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

23.2. Свойства двойного интеграла

Вообще, процесс построения двойного интеграла практически дословно повторяет процедуру построения определенного интеграла, поэтому аналогичны и их свойства.

1.

2.

3. Если область D разбить на две подобласти D₁ и D₂, то

4. Если в области D , то

5. Если функция непрерывна в области D площадью S и , то

6. Если функция непрерывна в области D площадью S, то в этой области существует точка (х ₀; у ₀) такая, что

.

23.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция f (x; y) непрерывна в области D, которая представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=а и x=b и кривыми и , причем . Такую область называют правильной в направлении Оу.

Тогда двойной интеграл от функции f (x; y) по области D может быть вычислен по формуле:

.

Правую часть этой формулы называют повторным интегралом от функции f (x; y) по области D. При этом называется внутренним интегралом. Для вычисления повторного интеграла сначала берется внутренний интеграл как обычный определенный интеграл при x=const, затем результат интегрируют по х в пределах от а до b.

Если область D ограничена прямыми у=с и у=d и кривыми и , причем (т.е. область правильная в направлении Ох) то

.

Для вычисления двойного интеграла по произвольной области D, ее следует разбить на правильные части, двойной интеграл по каждой из которых можно свести к повторному, и воспользоваться аддитивностью двойного интеграла.

Пример. Вычислить , где область D ограничена линиями: .

Изобразим область интегрирования на чертеже. Она правильная в направлении Ох, поэтому внешний интеграл будем брать по у, переписав уравнения границ области:

. Тогда:

.

Для вычисления данного интеграла можно было выбрать и другой порядок интегрирования, однако, поскольку верхняя граница области интегрирования задана кусочно (нет единого явного уравнения границы ), то область пришлось бы разбить прямой х= 1 на две правильные в направлении Оу части, тогда:

.

Нетрудно проверить, что и этом случае ответ получится тот же.

Замечание. Порядок интегрирования может выбираться исходя как из формы области интегрирования, так и из вида самой функции. Например, функцию , вообще говоря, удобнее сначала интегрировать по х.

23.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (замены переменных).

Рассмотрим замену переменных: .

Уравнения границ области D в плоскости хОу преобразуются при замене переменных в уравнения границ области D* в плоскости uOv.

Пусть функции имеют в D* непрерывные частные производные первого порядка и определитель Якоби (якобиан) не равен 0. Пусть также функция f (x; y) непрерывна в D.

Тогда справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

.

Наиболее часто используемая при вычислении двойных интегралов замена – переход к полярным координатам.

Напомним, что полярная система координат задается полюсом О и полярной осью. Как правило, полюс совмещается с началом координат в декартовой системе, а полярная ось – с положительным направлением оси Ох.

Положение точки М определяется ее расстоянием r от полюса, которое называется полярным радиусом, и углом j, образованным отрезком ОМ с полярной осью в направлении против часовой стрелки, который называется полярным углом.

Переход от декартовых координат к полярным осуществляется по формулам: .

Якобиан этого преобразования равен ,

следовательно, формула замены переменных принимает вид:

.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах пользуются тем же правилом сведения к повторному интегралу. Именно, если область D ограничена лучами и кривыми , то есть луч, выходящий из полюса, пересекает область не более чем в двух точках, то

.

Пример. Вычислить , где область D – половина круга

Перейдем к полярным координатам. При этом

,

В частности, условие принимает вид .

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис.): . Таким образом,

.

Дата добавления: 2015-07-24