Мера Лебега линейного ограниченного множества и ее свойства.

Определение1. Если внутренняя мера m _*A ограниченного множества А равна внешней мере m* А множества А, то множество А называется измеримым по Лебегу, а общее значение внутренней и внешней мер называется мерой Лебега множества А и обозначается mA.

ТЕОРЕМА Ограниченное счетное множество измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нулю.

Замечание. Любое конечное множество измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нуль.

ТЕОРЕМА 2 Ограниченное замкнутое множество Fизмеримо по Лебегу и его мера Лебега равна мере замкнутого множества .

Доказательство. Из всех замкнутых множеств, содержащихся в множестве , наибольшую меру имеет само множество . Поэтому . Значит, . Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 3 Ограниченное открытое множество G измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна мере открытого множества .

свойства:

ТЕОРЕМА 4 (Полная аддитивность меры Лебега). Если ограниченное множество А является объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых по Лебегу множеств , то множество А измеримо по Лебегу и

.

Следствие Если замкнутое множество содержится в ограниченном открытом множестве , то .

ЛЕММА 5 Пусть множество А содержится в интервале .Тогда, если А измеримо по Лебегу, то и множество измеримо по Лебегу.

ТЕОРЕМА 6. Пусть - ограниченные измеримые по Лебегу множества. Тогда множества так же измеримы по Лебегу.

ТЕОРЕМА 7. Если ограниченное множество А является объединением счетного множества измеримых по Лебегу множеств , то множество А измеримо по Лебегу.

ТЕОРЕМА 8. Пересечение счетного множества измеримых по Лебегу множеств является измеримым по Лебегу множеством.

Дата добавления: 2015-07-24