Определение и свойства измеримых функций

Пусть действительная числовая функция определена на множестве А, с - некоторое действительное число. Рассмотрим подмножество множества А. Кратко обозначать . Множество может быть пустым, а может совпадать со всем множеством А.

Из того, что множество А измеримо по Лебегу, следует что измеримы по Лебегу и его подмножества А(f<с).В связи с этим вводится понятие измеримой функции.

Определение 1.4 Числовая функция , определенная на ограниченном множестве А, называется измеримой на множестве А, если измеримо по Лебегу само множество А и для любого действительного числа с измеримо по Лебегу множество А(f<с).

Примеры измеримых функций.

1. Функция, определенная на ограниченном нульмерном множестве, измерима на нем.

2. Постоянная функция , определенная на измеримом По Лебегу множества А. измерима на множестве А.

Действительно, если и если .

ТЕОРЕМА. Функция , определенная и непрерывная на ограниченном открытом множестве G, измерима на нем.

Следствие. Функция, определенная и непрерывная на интервале, является измеримой на этом интервале.

ЛЕММА. Если функция измерима на множестве А, то при любом числе с будут измеримы по Лебегу следующие подмножества множества А:

(1)

(2)

(3)

(4)

ТЕОРЕМА. Функция , определенная и непрерывная на ограниченном замкнутом множестве F, измерима на нем.

Следствие. Функция определенная и непрерывная на отрезке, измерима на этом отрезке.

Определение. Пусть . Будем говорить, что функция измерима на множестве Х, если на этом множестве измеримо сужение функции

ТЕОРЕМА. Если функция является измеримой на множестве А, то она является измеримой и на любом измеримом подмножестве .

ТЕОРЕМА. Пусть функция определена на измеримом множестве А, которое является объединением конечного или счетного множества измеримых множеств . Если измерима на каждом множестве , то она является измеримой на множестве А.

Определение 3.4 Если для функций и выполнено условие , то функции и эквивалентными на множестве А, при этом пишут ~

ТЕОРЕМА. Если функция эквивалентна измеримой на множестве А функции , то функция измерима на множестве А.

Определение. Функция называется простой, если она измерима на множестве А и принимает не более, чем счетное множество значений .

Структуру простых функций описывает следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Функция определенная на ограниченном множестве А и принимающая не более чем счетное множество различных значений , измерима тогда и только тогда, когда все множества измеримы по Лебегу.

ТЕОРЕМА. Если , - простые функции, то функции также являются простыми.

Дата добавления: 2015-07-24