Приближенное вычисление интегралов

С помощью степенных рядов удается приближенно вычислить ряд интегралов, не выражающиеся через элементарные функции, либо вычисление которых другими способами представляет значительные трудности.

Метод основан на том, что если функцию удается разложить в равномерно сходящийся на отрезке ряд, то этот ряд можно проинтегрировать по любому отрезку , в результате чего определенный интеграл представляется в виде сходящегося ряда. Неопределенные интегралы также можно найти с помощью разложения подынтегральной функции в равномерно сходящийся степенной ряд с последующим интегрированием по отрезку .

Пример 6.3. С точностью до 0,01 вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е. Воспользовавшись разложением (5.22), справедливым при , представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда и проинтегрируем его по отрезку :

.

Для вычисления данного интеграла с заданной точностью достаточно было ограничиться первыми шестью членами полученного знакочередующегося ряда, так как модуль следующего члена не превосходит величины заданной точности вычислений:

.

Таким образом, с точностью 0,01.

Задание 6.2. С точностью 0,001 вычислить следующие интегралы:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) 3,057; б) 0,005; в) 0,006.

Дата добавления: 2015-07-26