Применение рядов для вычисления производных

С помощью рядов Тейлора можно находить численные значения производных любого порядка от заданной функции . Например, чтобы вычислить производную в точке , необходимо разложить функцию в ряд Тейлора по степеням разности , а затем по формуле

, (6.13)

которая получается из общего выражения (5.9) для коэффициентов ряда, находится производная нужного порядка.

Пример 6.5. Вычислить производную функции девятого порядка в точке .

Р е ш е н и е. Представим функцию в виде ряда Маклорена, используя биномиальное разложение (5.23):

Так как согласно полученному разложению коэффициент ряда Тейлора при равен , то на основании формулы (6.13) получим искомое значение производной заданной функции девятого порядка в точке :

.

Задание 6.4. Используя разложение функции в ряд Тейлора, найти значение производной этой функции тринадцатого порядка в точке .

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26