Разрешенных относительно старшей производной

Если интегрирование дифференциального уравнения не сводится к квадратурам, то для его решения приходится применять приближенные методы интегрирования. К этим методам, наряду с конечно-разностными методами, относится способ представления искомого решения в виде степенного ряда.

При решении задачи Коши для дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной, может быть применен так называемый метод последовательных дифференцирований, идею применения которого, не умоляя общности, рассмотрим на примере интегрирования уравнения второго порядка.

Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения

, (6.14)

удовлетворяющее начальным условиям

, . (6.15)

Предположим, что искомое частное решение существует и его можно представить в виде ряда Тейлора

, (6.16)

не останавливаясь при этом на вопросе, при каких условиях это имеет место. Итак, чтобы найти частное решение уравнения (6.14) в виде (6.16), необходимо знать значения этого решения и его производных в точке . Значения и определяются с использованием начальных условий (6.15), а именно:

, .

Значения остальных производных частного решения находятся путем использования самого дифференциального уравнения (6.14). В частности, согласно (6.14) вторая производная искомого решения равна:

.

Дифференцируя далее (6.14) по :

(6.17)

и подставляя , найдем значение третьей производной:

.

Дифференцируя затем (6.17), получим , и т.д. Подставляя в (6.16) найденные значения производных в точке , получим искомое частное решение дифференциального уравнения (6.14) в виде ряда Тейлора, удовлетворяющее начальным условиям (6.15).

Рассмотренный метод применим для решения дифференциального уравнения любого порядка, разрешенного относительно старшей производной. При этом следует заметить, что в общем случае не удается исследовать полученный ряд на сходимость к решению дифференциального уравнения ввиду того, что, как правило, не удается найти аналитического выражения для общего члена ряда. Однако этот метод применим, если заранее известно, что решение уравнения в виде степенного ряда существует. Особенно часто этот метод применяется в инженерной практике и в исследовательской работе, где решение может быть проверено экспериментально.

Пример 6.6. Найти пять членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения

(6.18)

при начальных условиях , .

Р е ш е н и е. Так как начальные условия заданы в точке , то частное решение дифференциального уравнения (6.18) будем искать в виде ряда Маклорена:

(6.19)

Используя начальные условия и само уравнение (6.18), получим:

; ;

.

Затем дважды продифференцируем (6.18) по :

;

и подсчитаем частные значения этих производных в точке , учитывая, что в этой точке , и :

,

.

Подставляя найденные частные значения производных в (6.19), искомое решение дифференциального уравнения (6.18) получим в виде ряда Маклорена:

Задание 6.5. Найти пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего начальному условию .

Ответ:

Задание 6.6. Записать шесть членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего начальным условиям , .

Ответ:

Дата добавления: 2015-07-26