Приближенное вычисление значений функций

ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Приближенное вычисление значений функций

Числовые и функциональные ряды, в том числе и степенные ряды, находят самое широкое применение в приближенных вычислениях. Сначала рассмотрим вопрос о приближенном вычислении функций с помощью степенных рядов.

Пусть требуется с заданной точностью вычислить значение функции , которая может быть разложена в степенной ряд

(6.1)

на интервале , в некоторой точке , принадлежащей этому же интервалу, где - радиус сходимости ряда (6.1).

Ограничиваясь первыми членами этого ряда, то есть n -ой частичной суммой ряда , получим приближенное искомое значение функции в рассматриваемой точке :

. (6.2)

Абсолютная погрешность такого приближения равна модулю остаточного члена этого числового ряда:

.

Методы оценки погрешности при приближенном вычислении сумм числовых рядов были рассмотрены раньше (см. подразд. 3.5, 3.6 и 3.7). Однако, если степенной ряд (6.1) является рядом Тейлора, то довольно часто эту погрешность можно оценить с использованием формулы (5.10) остаточного члена ряда Тейлора:

, (6.3)

где .

При вычислении некоторых основных элементарных функций могут быть использованы и более простые оценки погрешности вычислений. Например, вычисляя значение функции по приближенной формуле

, (6.4)

ошибка вычисления при оценивается неравенством

, (6.5)

а при можно воспользоваться более простой оценкой:

. (6.6)

При вычислении значений функции по формуле

(6.7)

погрешность вычислений оценивается как

, (6.8)

а при вычислений значений косинуса по приближенной формуле

(6.9)

ошибка вычислений составляет:

. (6.10)

Напомним, что при применении формул (6.7) и (6.9) аргумент синуса и косинуса должен быть задан в радианах.

Для вычисления логарифмов числа целесообразно использовать разложение

, , (6.11)

при этом остаток этого ряда может быть оценен с помощью формулы

. (6.12)

Пример 6.1. Вычислить с точностью до 0,001.

Р е ш е н и е. Чтобы воспользоваться разложением (6.11), положим , откуда .

Затем определим необходимое количество членов ряда (6.11), обеспечивающее заданную точность вычислений . При , используя оценку (6.12), получим:

,

а при будем иметь:

.

Таким образом, суммируя первые четыре члена ряда (6.11), с заданной точностью 0,001 получим:

.

Пример 6.2. С точностью до 0,00001 вычислить .

Р е ш е н и е. Сначала преобразуем заданный радикал:

,

а затем, положив и , воспользуемся биномиальным разложением (5.23):

.

Для вычисления корня с заданной точностью достаточно просуммировать первые три члена полученного знакочередующегося ряда, поскольку остаток такого ряда не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда:

,

то есть с заданной точностью .

Задание 6.1. С точностью до 0,001 вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответы: а) 7,389; б) 0,978; в) 1,609; г) 4,309.

Дата добавления: 2015-07-26