Теория экстремальных значений функции

1. Определение. Пусть функция определена в некотором промежутке X пусть точка х ₀ есть внутренняя точка промежутка X.

I. Если существует -окрестность точки х ₀ такая, что и что для всех оказывается

,

то говорят, что функция имеет в точке х ₀ максимум. Если при этом для всех оказывается

,

то говорят, что функция имеет в точке х ₀ строгий максимум.

II. Если существует -окрестность точки х ₀ такая, что и что для всех оказывается

,

то говорят, что функция имеет в точке х ₀ минимум. Если при этом для всех оказывается

,

то говорят, что функция имеет в точке х ₀ строгий минимум.

Из этих определений следует, что понятия «максимум» и «минимум» имеют локальный характер. У функции в промежутке X может быть несколько максимумов и минимумов.

Не следует, поэтому путать понятия максимума и минимума функции с понятиями наибольшего и наименьшего значения этой функции на всем промежутке X.

Вместо отдельных наименований «максимум» и «минимум» употребляют объединяющее их наименование — «экстремум».

Теорема 1. Пусть функция определена в промежутке X и во внутренней точке имеет экстремум. Тогда, если у функции в точке х ₀ существует конечная производная , то обязательно .

► Пусть для определенности функция имеет в точке х ₀ максимум. Но тогда существует -окрестность точки х ₀ такая, что и для всех :

, (1)

Дадим х ₀ приращение — любое, но такое, что и точка . В силу соотношения (1) ясно, что.

.

Если , то , т. е.

. (*)

Если , то , т. е.

. (**)

По условию функция в точке х ₀ имеет конечную производную . Но тогда должно быть: . Совместное же осуществление соотношений (*) и (**) возможно лишь тогда, когда .

Случай, когда функция имеет в точке х ₀ минимум, рассматривается совершенно аналогично. ◄

Из теоремы 1 вытекает важное следствие: точки, в которых функция имеет экстремум, следует искать среди точек, в которых либо , либо , либо не существует. Все эти три случая реализуются для функций: 1) , 2) , 3) (см. рис. 4.14, 4.15, 4.16).

Рис. 4.14.	Рис. 4.15.	Рис. 4.16.

Каждая из этих трех функций в точке имеет минимум.

Те точки, в которых , а также те точки, в которых производная бесконечна или не существует, но сама функция непрерывна, называются критическими точками функции . Те точки, в которых , будем называть подозрительными на гладкий экстремум, а точки, в которых бесконечна или не существует, — подозрительными на острый экстремум.

Отметим, что не в каждой критической точке функция обязательно имеет экстремум. Так, например, точка является критической для каждой из функций: 1) , 2) , 3) . Однако ни одна из этих функций в точке не имеет экстремума (см. рис. 4.17, 4.18, 4.19).

Рис. 4.17.	Рис. 4.18.	Рис. 4.19.

Следовательно, для решения задачи нахождения экстремумов функции требуется найти признаки, которые позволяли бы судить, имеется ли в данной критической точке экстремум функции или нет; а если имеется, то максимум это или минимум.

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X. Пусть точка х ₀ — внутренняя точка промежутка X. Пусть точка х ₀ — критическая точка функции . Пусть в некоторой проколотой -окрестности точки х ₀ функция имеет конечную производную , причем сохраняет знак как в , так и в (в каждой полуокрестности сохраняет свой знак). Тогда:

1. если для производная , а для производная , т. е. если при переходе через точку х ₀ производная меняет знак с "+" на "–", то функция имеет в точке х ₀ строгий максимум;

2. если для производная , а для производная , т. е. если при переходе через точку х ₀ производная меняет знак с "–" на "+", то функция имеет в точке х ₀ строгий минимум;

3. если при переходе через точку х ₀ производная знака не меняет, т. е. либо как для , так и для либо как для , так и для , то функция в точке х ₀ не имеет экстремума.

► Возьмем в любую точку х. Заметим, что: 1) функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке ; 2) имеет конечную производную в промежутке . Видим, что выполнены условия теоремы Лагранжа. Поэтому имеем

. (*)

Рассмотрим случай 1): для , для . Имеем: если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Имеем, далее, если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Получили, таким образом, что для всех . А это означает, что функция имеет в точке х ₀ строгий максимум.

Рассмотрим случай 2): для , для . Имеем: если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Имеем, далее, если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Получили, таким образом, что для всех . А это означает, что функция имеет в точке х ₀ строгий минимум.

Рассмотрим случай 3): при переходе через точку х ₀ производная не меняет знак; пусть для определенности: для и для . Имеем: если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т.е. для . Значит, в точке х ₀ у функции нет максимума. Имеем, далее, если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Это означает, что у функции в точке х ₀ нет минимума.

Общий вывод: у функции в точке х ₀ нет экстремума. Совершенно аналогично можно убедиться, что у функции в точке х ₀ нет экстремума, если как для , так и для . ◄

Замечание 1. Теорема 2 позволяет полностью решить вопрос об отыскании экстремумов функции , удовлетворяющей следующим условиям:

1) определена и непрерывна на промежутке ;

2) имеет в конечное число критических точек (считаем, что );

3) в каждом из промежутков: существует конечная непрерывная производная .

Практически исследование функции на экстремум происходит следующим образом.

1) Находят все критические точки функции и располагают их в порядке возрастания.

2) Каждое критическое значение аргумента испытывают на изменение знака производной . Для этого берут два значения аргумента и ( меньше, а больше исследуемого критического значения аргумента). При этом должно быть соблюдено условие, чтобы и были ближе к исследуемому критическому значению аргумента, чем ближайшие критические точки. Затем определяют знаки чисел и . Могут реализоваться следующие случаи:

+	–	max
–	+	min
+	+	нет экстремума
–	–	нет экстремума

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

► Функция определена и непрерывна на промежутке . Имеем

.

Точки и — критические точки функции . Точка — подозрительна на острый экстремум, а точка — подозрительна на гладкий экстремум.

Испытываем точку . Пусть , . Имеем

; .

Вывод: в точке функция имеет строгий максимум (острый) .

Испытываем точку . Пусть , . Имеем

; .

Вывод: в точке функция имеет строгий минимум (гладкий) .

Имеем

;

.

На рис. 4.20 представлена схема графика функции .

Рис. 4.20.

Замечание 2. Изложенный выше способ позволяет исследовать на экстремум функции, имеющие в промежутке конечное число разрывов, при условии, что в каждом промежутке между соседними точками разрывов функции , выполнены условия 1), 2), 3) замечания 1.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

► область существование функции : .

.

Точка — точка разрыва второго рода. Имеем

.

Видим, что в точках и . Во всех остальных точках области существования функции производная существует конечная. В каждом из промежутков и выполнены условия 1), 2), 3) замечания 1. Точки и подозрительны на гладкий экстремум.

Испытываем точку . Пусть , (важно, что ). Имеем

; .

Вывод: в точке функция имеет строгий максимум .

Рис. 4.21.

Испытываем точку . Пусть (важно, что ), . Имеем

; .

Вывод: в точке функция имеет строгий минимум (гладкий) .

Имеем .

На рис. 4.21 представлена схема графика функции .

Дата добавления: 2015-07-20