Неопределенность вида .

Теорема 1. Пусть функции и :

1) определены в промежутке ( — конечное число, );

2) имеют конечные производные и в , причем для ;

3) ; .

Тогда, если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

,

то к тому же пределу / при стремится и отношение , (т.е. ).

► Из условия 1) теоремы следует, что функции и не определены в точке а. Доопределим эти функции в точке а, положив , . Возьмем любое х из промежутка (а < х < b). Ясно, что теперь на промежутке [ а, х ] функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши. Поэтому для каждого х из промежутка между точками а и х существует точка с такая, что имеет место равенство

,

ибо у нас , . Так как точка с лежит между точками а и х, то , если .

В соотношении перейдем к пределу при .

Получим

.

По условию существует и равен ( — конечное число или бесконечность определенного знака). Но тогда и . ◄

Замечание. В теореме 1 речь шла о правостороннем пределе отношения в точке а. Отметим, что совершенно аналогичные утверждения остаются справедливыми в случаях, когда речь идет о левостороннем или двустороннем пределе отношения в точке а.

Пример. Найти .

► Здесь , . Ищем предел отношения производных при . Имеем

.

Значит, и . ◄

Замечание. Может случиться, что отношение производных опять

приводит к неопределенности вида . Но к отношению производных можно снова применить установленное правило (если, конечно, выполнены условия его применимости), т. е. перейти к отношению вторых производных. Если и здесь получается неопределенность , то переходим к отношению третьих производных и т. д. Если на каком-то шаге мы получим предел, который сможем вычислить, то найденное его значение и будет искомым пределом отношения функций.

Замечание. Если не существует предел отношения производных, то это вовсе не означает, что не существует и предел отношения самих функций.

Например, пусть . Это отношение представляет собой при неопределенность вида . Имеем

.

Ясно, что не существует, так как не существует . Однако

,

ибо , а функция — ограниченная.

Замечание. Теорема 1 доказана для случая, когда — конечное число. Отметим. Что утверждение теоремы справедливо и для случая, когда — несобственное число .

Дата добавления: 2015-07-20