Читайте также:
|
|
Теорема 1 (признак постоянства функции). Пусть функция определена и непрерывна в некотором промежутке Х и имеет внутри этого промежутка конечную производную
. Для того, чтобы
имела в промежутке
постоянное значение, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках х, лежащих внутри X, было:
.
► Необходимость. Пусть . Тогда для любого х, лежащего внутри X, будет
.
Достаточность. Дано: для всех х, лежащих внутри X. Требуется доказать, что
. Возьмем в промежутке любую точку х 0 и закрепим ее. Пусть х — любая другая точка из промежутка X.
Замечаем, что в промежутке функция
удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Но тогда между точками х 0 и х обязательно найдется точка с такая, что будет
. (1)
Так как точка с лежит между точками х 0 и х, то точка с лежит внутри промежутка X. По условию для всех х, лежащих внутри X. Значит, в частности,
. А тогда из (1) получаем
, т. e.
. (2)
Так как в соотношении (2) точка х — любая из промежутка X, то заключаем, что . ◄
Следствие. Пусть имеются две функции и
, и пусть:
1) и
определены и непрерывны в промежутке X;
2) и
имеют внутри промежутка X конечные производные
и
;
3) во всех точках х внутри промежутка X: .
Тогда во всем промежутке X функции и
отличаются друг от друга на постоянную величину.
► Введем в рассмотрение функцию . Имеем:
1. определена и непрерывна в промежутке X;
2. имеет внутри X конечную производную
;
3. во всех точках х внутри X: .
Видим, что функция удовлетворяет всем условиям теоремы 1. Следовательно,
,
, т. е.
,
. ◄
Теорема 2 (признак возрастания и убывания функции в широком смысле). Пусть:
1) функция определена и непрерывна в промежутке X;
2) имеет внутри промежутка X конечную или бесконечную (определенного знака) производную
.
При этих условиях:
I. Для того чтобы была возрастающей (в широком смысле) в промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы для всех х внутри X было:
.
II. Для того чтобы была убывающей (в широком смысле) в промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы для всех х внутри X было:
.
► Докажем утверждение I (утверждение II доказывается аналогично).
Необходимость. Дано: функция в промежутке
возрастает (в широком смысле). Требуется доказать, что
внутри промежутка X.
Возьмем внутри промежутка X любую точку х. Дадим этому х приращение — любое, но такое, что
и точка
. Если
, то
, а значит,
, т. е.
. Но тогда
, и, следовательно,
, т. е.
.
Если , то
, а значит,
. Но тогда
, и, следовательно,
, т. е.
.
По условию в точке х существует производная функции в обычном смысле. Следовательно,
. Значит,
. Так как точка х была любой, лежащей внутри X, то заключаем, что
внутри промежутка X.
Достаточность. Дано: внутри промежутка X. Требуется доказать, что
возрастает (в широком смысле) в промежутке X.
В промежутке X возьмем две точки и
— любые, но такие, что
. Рассмотрим промежуток
. Заметим, что
и что на промежутке
функция
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. (
определена и непрерывна на
и имеет в промежутке
конечную или бесконечную определенного знака производную
.) По теореме Лагранжа, имеем
, где
— некоторая точка из
. Так как по условию
и так как
, то
, т. е.
.
Итак, для любых двух точек и
из X, из того, что
, следует, что
. Значит, функция
возрастает (в широком смысле) в промежутке X. ◄
Теорема 3 (признак строгого возрастания и строгого убывания
функции). Пусть:
1) функция определена и непрерывна в промежутке X;
2) имеет внутри промежутка X конечную или бесконечную (определенного знака) производную
.
При этих условиях:
I. Для того чтобы была строго возрастающей в промежутке X, необходимо и достаточно выполнение еще следующих двух условий:
а) для всех х внутри X должно быть ;
б) внутри X не существует такого интервала , во всех точках которого
.
П. Для того, чтобы была строго убывающей в промежутке X, необходимо и достаточно выполнение еще следующих двух условий:
а) для всех х внутри должно быть
;
б) внутри Х не существует такого интервала , во всех точках которого
.
Докажем утверждение I (утверждение II доказывается аналогично).
► Необходимость. Дано: функция строго возрастающая в промежутке X. Требуется доказать необходимость выполнения условий а) и б).
Необходимость условия а) показывается так же, как и при доказательстве теоремы 2. Установим необходимость условия б).
Предположим, что условие б) не выполнено. Но тогда внутри X существует промежуток , во всех точках которого
и, следовательно, по теореме 1 будет
для
, т. е.
не будет строго возрастающей в промежутке
(ибо, например,
, a
).
Вывод: выполнение условия б) необходимо для строгого возрастания функции в промежутке X.
Достаточность. Дано: для функции выполнены условия а) и б). Требуется доказать, что
строго возрастающая в промежутке X.
Если выполнено условие а), то по теореме 2 функция возрастает (по крайней мере, в широком смысле) в промежутке X. Надо показать теперь, что выполнение еще и условия б) обеспечивает строгое возрастание
в промежутке X.
Рассуждаем от противного. Предположим, что несмотря на выполнение условий а) и б) в промежутке X имеются точки и
(пусть, для определенности,
) такие, что
. Возьмем любое х, удовлетворяющее условию:
. Так как
по условию а) возрастает (по крайней мере, в широком смысле) в промежутке X, то из неравенства
следует неравенство
. (*)
Так как, по предположению, , то из соотношения (*) следует, что
для всех
. Но тогда, по теореме 1,
, для всех
. У нас, по условию, внутри промежутка Х не может существовать интервала
, во всех точках которого
. Следовательно, получили противоречие. Значит, предположение, что
неверно. Отсюда заключаем, что должно быть
. ◄
Замечание. Не следует думать, что при строгом возрастании (или строгом убывании) функции в промежутке X будет обязательно
(или
) во всех точках внутри промежутка X. Например, функция
,
строго возрастает на всем бесконечном промежутке
, и, тем не менее,
обращается в нуль при
.
И для строго возрастающих, и для строго убывающих функций производная
в отдельных точках может обращаться в нуль (но именно в отдельных точках, не заполняющих никакого, хотя бы и малого промежутка).
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 325 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Неопределенность вида . | | | Теория экстремальных значений функции |