Читайте также:
|
|
Бывают случаи, когда зависимость переменной от переменной
не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных
и
от некоторой третьей, вспомогательной, переменной t (называемой параметром):
(1)
Считаем, что функции ,
определены на одном и том же промежутке
.
Пусть точка и пусть в окрестности
точки
функции
и
имеют нужное количество конечных производных по переменной
. Будем предполагать, что
в
и что функция
строго монотонная в
. Но тогда, как мы знаем, у функции
существует обратная функция
, определенная в окрестности
точки
(
;
— образ
при отображении
).
Отметим, что функция в
будет непрерывной, строго монотонной и имеющей конечную производную
. Подставив
в соотношение
, получим
. (2)
Видим, что можно рассматривать как функцию независимой переменной х, а переменную
считать промежуточным аргументом. По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
. Так как
, то окончательно получаем
. (3)
Пример. Пусть
.
Имеем,
.
Значит
Чтобы найти , поступаем следующим образом. Замечаем, что функция
параметрически задается уравнениями
где
.
А тогда, по установленному выше (см. (3)), находим
.
В нашем примере
.
Аналогично, считая, что функция задана параметрически уравнениями
где
,
находим
и т. д. И вообще для любого получаем
.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 168 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Дифференциалы высших порядков | | | Основные теоремы дифференциального исчисления |