Дифференцирование функции, заданной параметрически

Бывают случаи, когда зависимость переменной от переменной не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных и от некоторой третьей, вспомогательной, переменной t (называемой параметром):

(1)

Считаем, что функции , определены на одном и том же промежутке .

Пусть точка и пусть в окрестности точки функции и имеют нужное количество конечных производных по переменной . Будем предполагать, что в и что функция строго монотонная в . Но тогда, как мы знаем, у функции существует обратная функция , определенная в окрестности точки (; — образ при отображении ).

Отметим, что функция в будет непрерывной, строго монотонной и имеющей конечную производную . Подставив в соотношение , получим

. (2)

Видим, что можно рассматривать как функцию независимой переменной х, а переменную считать промежуточным аргументом. По правилу дифференцирования сложной функции имеем: . Так как , то окончательно получаем

. (3)

Пример. Пусть

.

Имеем,

.

Значит

Чтобы найти , поступаем следующим образом. Замечаем, что функция параметрически задается уравнениями

где .

А тогда, по установленному выше (см. (3)), находим

.

В нашем примере

.

Аналогично, считая, что функция задана параметрически уравнениями

где ,

находим

и т. д. И вообще для любого получаем

.

Дата добавления: 2015-07-20