Односторонние производные.

I. Пусть функция определена в точке х₀ и в некоторой правосторонней окрестности u⁺ (x ₀) этой точки. В этом случае для вычисления предела отношения приходится ограничиться приближением к нулю лишь справа (; стремится к нулю, оставаясь больше нуля).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел , то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной правосторонней производной функции в точке x ₀ и обозначается .

II. Пусть функция определена в точке x ₀ и в некоторой левосторонней окрестности u^- (x ₀) этой точки. В этом случае при вычислении предела отношения приходится ограничиться приближением к нулю лишь слева (; стремится к нулю, оставаясь меньше нуля).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел , то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной левосторонней производной функции в точке х₀ и обозначается .

Замечание. Об односторонних производных функции в точке х₀ можно говорить и в случае, когда эта функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности u (x ₀) точки x ₀ (т. е. определена одновременно и в u⁺ (x ₀) и в u^- (x ₀)).

Для функции , определенной в u (x ₀), справедливы утверждения:

1. Если у функции в точке x ₀ существует конечная или бесконечная (определенного знака) обычная (т. е. двусторонняя) производная , то у этой функции в точке x ₀ существуют одновременно и , причем .

2. Если у функции в точке x ₀ существуют одновременно конечные или бесконечные (определенного знака) и и если , то у этой функции в точке х ₀ существует соответственно конечная или бесконечная (определенного знака) обычная (т. е. двусторонняя) производная , равная общему значению односторонних производных.

Отметим, что бывают случаи, когда у функции в точке х ₀ существуют одновременно и , но . В этих случаях обычной (т. е. двусторонней) производной у функции в точке х ₀ нет.

В качестве примера рассмотрим функцию . Найдем правостороннюю и левостороннюю производные этой функции в точке . Имеем

.

Если , то и, следовательно,

.

Если , то и, следовательно,

.

Видим, что . Значит, производная функции в точке в обычном смысле (т. е. двусторонняя) не существует.

В качестве еще одного примера рассмотрим функцию . Найдем правостороннюю и левостороннюю производные этой функции в точке . Имеем

.

Следовательно,

;

.

Видим, что и в этом примере . Значит, у функции в точке не существует обычной (т. е. двусторонней) производной.

Графики функций и имеют вид, схематически изображенный на рис. 4.7 и 4.8 соответственно.

Рис. 4.7. не существует	Рис. 4.8. не существует

Дата добавления: 2015-07-20