Правило дифференцирования сложной функции.

Пусть функция определена в промежутке , а функция определена в промежутке X и такая, что если то . Тогда для имеет смысл выражение ( — сложная функция). Предположим, что в точке существует конечная производная , а в точке () существует конечная производная . Покажем, что существует конечная и найдем ее.

Дадим х ₀ приращение — любое, но такое, что и точка . Тогда функция получит приращение

(не исключено, что ).

Так как , то приращению отвечает приращение

.

По формуле приращения функции (**) (см. пункт 12)

,

где при . А тогда

,

Пусть . Но тогда (ибо функция дифференцируемая в точке х ₀, а значит и непрерывная в точке х ₀). А, следовательно, и при . Значит,

,

т. е. . Показано, таким образом, что существует конечная и что (короче: ).

Правило цепочки. Производная сложной функции по независимой переменной равна ее производной по промежуточной переменной, умноженной на производную промежуточной переменной по независимой переменной. (Здесь — промежуточная переменная).

Дата добавления: 2015-07-20