Читайте также:
|
|
I. Пусть функции определены в некотором промежутке X и в точке
имеют конечные производные
. Тогда функция
в указанной точке х также имеет конечную производную, причем
.
► Дадим х, отмеченному в условиях утверждения I, приращение — любое, но такое, что
и точка
. Тогда функции
и
получат соответственно приращения
и
, и их новыми значениями будут:
и
; причем
и
. Следовательно,
.
По условию, существуют конечные ,
, равные соответственно
. А тогда
существует конечный, причем
. ◄
Замечание. Полученный результат может быть легко распространен на любое конечное число слагаемых.
II. Пусть функции определены в некотором промежутке X и в точке
имеют конечные производные
. Тогда функция
в указанной точке х также имеет конечную производную, причем
.
► Дадим х, отмеченному в условиях утверждения II, приращение — любое, но такое, что
и точка
. Тогда функции
и
получат соответственно приращения
и
, и их новыми значениями будут
и
. А значит,
.
По условию существуют конечные ,
, равные соответственно
. Кроме того,
, ибо функция
дифференцируема в точке х, а, следовательно, непрерывна в этой точке (значит, бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции). А тогда
Замечание. Если , причем
,
,
существуют конечные, то
.
И вообще, если , причем
,
,
, …,
существуют конечные (и число сомножителей — конечное число), то
.
Это соотношение устанавливается методом математической индукции.
III. Пусть функции определены в некотором промежутке X и в точке
имеют конечные производные
. Пусть
в этой точке
. Тогда функция
в указанной точке
также имеет конечную производную, причем
.
► По условию существует конечная в точке
, следовательно,
— непрерывная в точке х 0. По условию
, следовательно, по теореме о стабильности знака существует окрестность
точки х 0 такая, что
и
,
. Дадим х 0, отмеченному в условиях утверждения III, приращение
— любое, но такое, что
и точка
. Тогда функции
и
получат соответственно приращения
и
, и их новыми значениями будут
и
. А значит,
.
Заметим, что по условию:
;
.
А тогда
. ◄
8. .
► Возьмем любое х из промежутка и закрепим. Дадим этому фиксированному х приращение
— любое, но такое, что
и точка
. Тогда
.
Так как — бесконечно малая величина при
, то
при
. Поэтому
.
Таким образом, . ◄
9. .
► Имеем
◄
10. ;
определена всюду, за исключением точек
,
.
► Имеем . Следовательно, для
,
.
Итак, , если
,
. ◄
11. ;
определена всюду, за исключением точек
,
.
► Совершенно аналогично предыдущему устанавливается, что , если
,
. ◄
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 84 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Формулы и правила вычисления производных | | | Правило дифференцирования сложной функции. |