Простейшие правила вычисления производных.

I. Пусть функции определены в некотором промежутке X и в точке имеют конечные производные . Тогда функция в указанной точке х также имеет конечную производную, причем .

► Дадим х, отмеченному в условиях утверждения I, приращение — любое, но такое, что и точка . Тогда функции и получат соответственно приращения и , и их новыми значениями будут: и ; причем и . Следовательно,

.

По условию, существуют конечные , , равные соответственно . А тогда существует конечный, причем . ◄

Замечание. Полученный результат может быть легко распространен на любое конечное число слагаемых.

II. Пусть функции определены в некотором промежутке X и в точке имеют конечные производные . Тогда функция в указанной точке х также имеет конечную производную, причем

.

► Дадим х, отмеченному в условиях утверждения II, приращение — любое, но такое, что и точка . Тогда функции и получат соответственно приращения и , и их новыми значениями будут и . А значит,

.

По условию существуют конечные , , равные соответственно . Кроме того, , ибо функция дифференцируема в точке х, а, следовательно, непрерывна в этой точке (значит, бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции). А тогда

Замечание. Если , причем , , существуют конечные, то

.

И вообще, если , причем , , , …, существуют конечные (и число сомножителей — конечное число), то

.

Это соотношение устанавливается методом математической индукции.

III. Пусть функции определены в некотором промежутке X и в точке имеют конечные производные . Пусть в этой точке . Тогда функция в указанной точке также имеет конечную производную, причем

.

► По условию существует конечная в точке , следовательно, — непрерывная в точке х ₀. По условию , следовательно, по теореме о стабильности знака существует окрестность точки х ₀ такая, что и , . Дадим х ₀, отмеченному в условиях утверждения III, приращение — любое, но такое, что и точка . Тогда функции и получат соответственно приращения и , и их новыми значениями будут и . А значит,

.

Заметим, что по условию:

;

.

А тогда

. ◄

8. .

► Возьмем любое х из промежутка и закрепим. Дадим этому фиксированному х приращение — любое, но такое, что и точка . Тогда

.

Так как — бесконечно малая величина при , то при . Поэтому .

Таким образом, . ◄

9. .

► Имеем

◄

10. ; определена всюду, за исключением точек , .

► Имеем . Следовательно, для ,

.

Итак, , если , . ◄

11. ; определена всюду, за исключением точек , .

► Совершенно аналогично предыдущему устанавливается, что , если , . ◄

Дата добавления: 2015-07-20