Дифференциал функции

1. Определение дифференциала. Пусть функция определена в некотором промежутке X и пусть точка . Дадим значению х ₀ аргумента приращение — любое, но такое, что и точка . Пусть есть приращение функции в точке х ₀, соответствующее приращению аргумента. Мы знаем, что если функция имеет в точке х ₀ конечную производную , то приращение функции представимо в виде

, (1)

где .

Замечаем, что если , то первое слагаемое в правой части формулы (1) пропорционально величине или, как говорят, линейно зависит от . Так как в этом случае , то упомянутое слагаемое является при бесконечно малой того же порядка, что и .

Второе слагаемое правой части (1) при является бесконечно малой более высокого порядка, чем , ибо

.

Полагаем

(2)

и называем эту величину дифференциалом функции в точке х ₀.

Таким образом, дифференциалом функции в точке х ₀ называется произведение производной, вычисленной в этой точке, на приращение независимой переменной.

Дифференциалом независимой переменной х называют ее приращение, т. е. полагают . Следовательно, вместо равенства (2) можно писать

. (3)

Из равенства (3), разрешая его относительно , находим

. (4)

Тем самым символ может рассматриваться как обычная дробь, знаменатель которой есть , а числитель — .

Вернемся снова к формуле (1). Если , т. е. при , то

.

Значит, в случае, когда , приращение функции и ее дифференциал оказываются эквивалентными бесконечно малыми при . Поэтому в этом случае вполне оправдано приближенное равенство

. (5)

Ясно, что приближенное равенство (5) тем точнее (как в смысле абсолютной, так и в смысле относительной погрешности), чем меньше .

Обычно структура дифференциала функции значительно проще структуры ее приращения , и поэтому формулой (5) широко пользуются в приближенных вычислениях. Например, для функции :

,

в то время как

.

Если взять , то

,

а

.

Таким образом, абсолютная ошибка

,

относительная ошибка

.

Дата добавления: 2015-07-20