Сводка формул для дифференциалов.

Поскольку дифференциал функции получается умножением производной этой функции на дифференциал независимой переменной dx, постольку операции на вычисление производной и дифференциала, с точки зрения техники вычислений, почти не отличаются друг от друга. Это позволяет нам из сводки формул для производных получить соответствующую сводку формул для дифференциалов.

Например, из формулы , умножив обе части на dx, получим

,

или

.

Поступая аналогичным образом и в иных случаях, найдем:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы
дифференциала.

Рассмотрим сложную функцию , где . Считаем, что функция определена на промежутке , а функция определена на промежутке X и такая, что , если . Пусть функция имеет конечную производную на промежутке а функция имеет конечную производную на промежутке Y.

Так как есть функция независимой переменной , определенная на промежутке X, то, по определению дифференциала, имеем

. (*)

Но по правилу дифференцирования сложной функции

Подставляя это выражение для в соотношение (*), получим

.

Так как (по определению дифференциала), то будем иметь

. (**)

Сравнивая соотношения (*) и (**), замечаем, что дифференциал сложной функции через промежуточную переменную выражается в той же форме, как и через независимую переменную . В этом и состоит инвариантность (неизменяемость) формы дифференциала.

Следует, однако, помнить, что в случае, когда — независимая переменная, то (т. е. есть произвольное приращение), а в случае, когда — функция, то есть дифференциал этой функции, т. е. величина, вообще говоря, не совпадающая с ее приращением (, вообще говоря).

Дата добавления: 2015-07-20