Аппроксимация экспериментальных данных с помощью интерполяционной формулы Ньютона.

Рассмотрим другой способ построения интерполяционном многочлена. При этом, однако, не следует забывать, что по заданной таблице, содержащей значения функции в n+ 1 узлов, интерполяционный многочлен п-ой степени единственен, и поэтому «новые» интерполяционные многочлены отличаются от построенного по той таблице многочлена Лагранжа лишь внешним видом.

Тем не менее, они представляют ценность, поскольку вид (т.е. форма записи) многочлена определяет порядок и объем вычислений, что в численных методах существенно.

Для аппроксимации функции часто применяется интерполяционный полином Ньютона. Он строится как для равноотстоящих узлов интерполяции, так и для равноотстоящих, в первом варианте мы будем использовать понятия конечных разностей, а во втором разделенных разностей.

Он содержит разности различных порядков, найденные по значениям функции y₀…y_N в точках x₀,…, x_n.

Разделенные разности первого порядка:

(1)

Разделенные разности второго порядка определяются через разности первого порядка:

(2)

В общем случае разности n порядка можно вычислить по формуле, если вычислить разность N-1 порядка.

(3)

Разделённые разности обычно располагаются в специальной таблице, которая строится по следующей схеме.

x0 y0

f(x0,x1)

x1 y1 f(x0,x1,x2)

f(x1,x2) f(x0,x1,x2,x3)

x2 y2 f(x1,x2,x3) f(x0,x1,x2,x3,x4)

f(x2,x3) f(x1,x2,x3,x4)

x3 y3 f(x2,x3,x4)

f(x3,x4)

x4 y4

Построим интерполяционный полином Ньютона.

Пусть функция f(x) определена на [а, b], а величина х - произвольная точка этого отрезка. Рассмотрим разность первого порядка.

(4)

Из формулы (4) определим значение f(x) в точке .

(5)

Разность второго порядка:

(6)

Из (6) имеем:

(7)

Подставим выражение из формулы (7) в (5)

(8)

Продолжая процесс подстановки получим выражение:

(9)

Выражение (9) перепишем в следующем виде

f(x)=P_N (x)+R_N (x) (10)

R_N(x) – остаточный член.

Если f(x) это многочлен степени n, то процесс подобного разложения исчерпывается. Разложение будет состоять из n+1 слагаемого, и все они будут иметь конкретные коэффициенты, так как последняя, содержащая x разделенная разность в (9) имеет (n+1) порядок и, значит, равна нулю. Таким образом, для любого многочлена степени n справедливо тождество

(11)

Полином P_n (x) - является интерполяционным т.к. имеет место равенство:

f(x_j) = P_N (x_j) j=0...N (12)

Этот полином P_n (x) - интерполяционный полином Ньютона для интерполирования вперед, a R_n (x) - остаточный член формулы Ньютона, причем R_n (x) - погрешность метода интерполирования.

R_N (x)=(x-x₀)…(x-x_N)f(x, x₀,x₁,…,x_N)= f(x, x₀,x₁,…,x_N)П_n+1(x), где

П_n+1(x) – многочлен, введенный ранее.

Если известно что функция f(x) N+1 раз дифференцируемая то остаточный член можно оценить:

(13)

А весь остаточный член равен:

(14)

При построении интерполяционного полинома Ньютона порядок расположения узлов интерполяции не играет роли, поэтому (11) перепишем:

(15)

Данная формула является второй интерполяционной формулой Ньютона - интерполирования назад.

Формула (11) традиционно применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, поэтому ее называют интерполированием вперед. Заметим, что путем переопределения узлов за начальное значение x₀ можно принимать любое табличное значение аргумента x (отбросив «лишние» узлы слева).

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, то первую формулу становится применять невыгодно и тогда применяется формула интерполирования назад (15).

Если все узлы интерполяции являются равноотстоящими, то шаг таблицы ,

h – шаг интерполяции, то при построении интерполяционного полинома Ньютона можно использовать таблицу разностей:

x0 y0

∆y₀

x1 y1 ∆y₁²

∆y₁

X2 y2 ………………….∆y₁^N-1 (16)

……………

∆y_n-1

xn yn

∆y_kⁱ=∆y_k+1^i-1-∆y_k^i-1

Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей (см. табл. 16). Будем ис­кать интерполяционный многочлен в виде

(17)

Это — многочлен n-й степени. Значения коэффициентов а₀, а₁, …,а_n найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах.

Полагая х = х₀, из (17) находим у₀ = Р_n(x₀)= а₀, откуда а_о = у_о. Далее, полагая х = x₁, получаем

,откуда . При х = х₂ имеем

, т.е. , или , откуда

Проведя аналогичные выкладки, можно получить

Исходя из этих формул, методом полной математической ин­дукции можно доказать, что в общем случае выражение для а_к будет иметь вид

. (18)

Подставим теперь (18) в выражение для многочлена (17)

(19)

Часто эта формула записывается в другом виде. Введем вместо переменной x новую переменную t: , или, напротив, . Тогда и т.д. После этого формула (19) примет вид

(20)

При построении интерполяционного полинома Ньютона порядок расположения узлов интерполяции не играет роли, поэтому (19) перепишем:

(21)

Как и для первой формулы Ньютона, коэффициенты а₀, а₁, …,а_n находятся из условия совпадения значений функции и интер­поляционного многочлена в узлах

(22)

Подставляя (22) в (21) и переходя к переменной , получим следующий вид второй интерполяционной формулы Ньютона: (23)

Дата добавления: 2015-07-20