Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа.

Значения полинома Лагранжа используются для аппроксимации функции f(x), поэтому правомочен вопрос: на какую величину полином P_n(x) отличается от f(x) в точке, не соответствующей узловым точкам.

Обозначим остаточный член интерполяции в виде R_n(x) = f(x)-P_n(x). Остаточный член интерполяции можно оценить теоретически в том случае, если функция f(x) n+1 раз дифференцируема.

Если известна величина (10),

то оценить абсолютную погрешность интерполяционной формулы в любой точке отрезка интерполяции можно с помощью неравенства

(11*)

А максимальная погрешность интерполирования на отрезке оценивается величиной

. (12)

Пример: Оценить погрешность приближения функции в точке x= 116 и на всем отрезке , где a=100, b=144, с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа второй степени, построенного с узлами =100, =121, =144

, , ,

На основании формулы (11*) получаем

В силу оценки (12) получаем .

Самостоятельно можно проверить, что погрешность аналитического решения будет меньше погрешности (11*), которая в свою очередь будет меньше погрешности (12).

Дата добавления: 2015-07-20