Аппроксимация по методу наименьших квадратов.

При интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена через данные значения функции в узлах интерполяции. В ряде случаев выполнение этого условия даже не целесообразно.

Табличные данные, которые получают путём измерения содержат ошибки, которые как правило являются случайными. Поэтому построение аппроксимирующею многочлена с условием обязательного прохождения графика функции через эти экспериментальные точки означает тщательное повторение допущенных при измерении ошибок. Выход из этого положения - построение такого многочлена график которого проходит близко от данных точек. На практике часто используется аппроксимирующая функция следующего вида:

(1)

А мерой отклонения многочлена φ (х)от заданной функции f(x) на множестве точек (x_j, y_j) (j=l,2,...,n) по методу наименьших квадратов является величина S.

Величина S равна сумме квадратов разности между значениями многочлена и функции в данных точках:

(2)

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты а₀,а₁,...,а_n так, чтобы величина S была наименьшей. В этом состоит суть метода наименьших квадратов. Обозначим разность между значениями опытных данных y_j =f(x_j) и значениями аппроксимирующей функции в этих точках через ε_j получим:

(3)

В соответствии с уравнением (2) параметры а₀,а,,...,а_n выступают в роли независимых переменных функции S, значит её минимум найдём приравняв к нулю производные по этим переменным:

(4)

Если в качестве аппроксимирующего полинома использовать многочлен (1), то формула (2) примет вид:

(5)

Для составления системы (4) найдём частные производные функции

……………………………………….

Приравняв эти выражения к нулю в соответствии с уравнением (4) и собирая коэффициенты при неизвестных придем к следующей системе уравнений:

(6)

Решая (6) получаем коэффициенты многочлена (1), которые являются искомыми параметрами аппроксимирующего полинома.

Систему (6) запишем в более компактном виде:

(7)

где l,k=0,1,…,n

Пример:

Методом наименьших квадратов аппроксимировать кривую намагничивания B=f(H).

j	xj	yj
		1.1
		1.35
		1.45
		1.5

Пусть ()

Имеем n=2, N=5. Система (7) примет вид:

(10)

Коэффициенты в (10) вычисляем по (8):

С учетом найденных коэффициентов систему (10) запишем в виде:

Из последней системы найдем . Получим:

Рис. 10

Вывод: точность аппроксимации квадратным трехчленом кривой намагничивания B=f(H) остается на низком уровне. В начале кривой намагничивания при H>20. Это объясняется выбором точек эксперимента, большое число которых выбраны в начале кривой намагничивания.

Дата добавления: 2015-07-20