Погрешность интерполяционной формулы при равноотстоящих узлах

Оценочная формула (11*) непосредственно применима для подсчета погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа. Используя подстановки и и заменяя соответствующим образом выражение для можно полу­чить из (11*) формулы оценки погрешностей интерполирования по первой и второй интерполяционным формулам Ньютона

(24)

(25)

Анализ интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, а также оценочных формул (11*), (24), (25) позволяет сделать по­лезные практические выводы.

Решающее влияние на значение погрешности оказывает вели­чина , которая минимизируется, когда х берется в сере­дине интервала узловых точек. При этом, когда х ближе к середи­не между двумя узловыми значениями, выгодно взять четное чис­ло п = 2т узлов (т узлов слева и т справа от х). Если же x-близко к одному из узловых значений, следует использовать нечетное чис­ло п = 2m + 1 узлов — узел, ближайший к х и по т узлов слева и справа от него.

Очевидно, что при составлении интерполяционных формул Ньютона последние слагаемые практически исчезают, если соот­ветствующие конечные разности — нули или близкие к нулю чис­ла. Поэтому в практических вычислениях интерполяционные фор­мулы Ньютона обрывают на членах, содержащих такие разности, которые в пределах заданной точности можно считать постоян­ными.

Связь между конечными разностями и точностью интерполи­рования по формулам Ньютона подтверждается следующими со­ображениями. Принимая во внимание, что при малых значениях h и при условии непрерывности можно приближенно считать , где (т.е. ) - максимальная из модулей конечных разностей (n+1)-го порядка). При этом условии оценки (24) и (25) остаточных членов первой и второй интерполяционных формул Ньютона принимают следую­щий вид:

; (26)

. (27)

Формулы (26) и (27) удобны тем, что позволяют делать оцен­ку ошибки метода интерполирования без исследования (n+1)- й производной интерполируемой функции f (в частности, когда аналитическое выражение f вовсе неизвестно).

Пример: Выполним аппроксимацию кривой намагничивания (рис.1) с помощью формулы Ньютона интерполяции назад.

Для построения интерполяционного полинома третьей степени используются значения кривой намагничивания в 4 точках:

j
Hj,А/м
Bj,Тл		1,1	1,45	1,5

На основании таблицы строим таблицу разделенных разностей.

0 0

0,55

2 1,1 -0,034872

0,026923 0,000432

15 1,45 -0,000335

0,000796

80 1,5

На основание таблицы разделенных разностей и (15) имеем:

Использование формулы Ньютона не позволяет получить удовлетворительную точность аппроксимации.

Рис.4

Дата добавления: 2015-07-20