Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции.

Если выбрать узлы интерполяции определённым образом, то можно уменьшить абсолютную погрешность интерполирования. Выберем в качестве узлов интерполяции нули многочлена (полинома) Чебышева 1-го рода.

Tn(x)=cos[n(arccosx)] (13)

Где n - порядок полинома. Доказательство, что данная функция является многочленом, можно найти в учебной литературе по курсу.

полином II –го рода (14)

Из уравнения Т_N(x)=0 если считать, что функция y=f(x) задана на [-1;1], то получим:

j=0…N (15)

Т.к. узлами интерполяции служат нули полинома Т_n(х), то можно функцию П(х) заменить на T_N(x).

-1≤x≤1 (16)

j=1,2,…,N (17)

С учетом выражений (15 - 17) интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

(18)

-1≤x≤1 x≠x_j

Pn(x_j)=y_j j=0,1,2,…,N - в узлах интерполяции.

Расширим область задания функции y=f(x) на произвольный отрезок [а,b]. Введем замену независимой переменной x = φ₁(u) таким образом чтобы функция

y=f(φ₁(u))=f₁(u) [-1;1].

Пусть функция x=φ₁(u) имеет обратную функцию и точкам x_j соответствуют точки u_j, являющиеся нулями полинома Чебышева I рода. При этом для аппроксимации функции y=f₁(u) можно использовать формулу (23).

Если cчитать

, следовательно функция y аппроксимирует функцию f(x) и очевидно, что преобразование независимой переменной позволяет функцию, заданную на [а,b] свести к функции на отрезке [-1;1].

А преобразование (19)

дает возможность осуществить обратный переход.

Поэтому функцию, заданную на [а,b] можно аппроксимировать с помощью интерполяционного полинома следующего вида:

x≠x_j (20)

P_n(x_j)=y_j – значение функции в точке.

Узлы интерполяции надо выбирать

j=1,2,…,N (21)

Пример: По формуле (21) определим узлы интерполяции x_j для рассмотренного примера аппроксимации кривой намагничивания аморфной стали В = f(H).

При N = 4, а = 0, b = 80.

По формуле (21) получим:

x₀=76,95 y₀=1,498 эти точки – новые

x₁=55,31 y₁=1,481 узлы интерполяционной

x₂=24,69 y₂=1,457 формулы Лагранжа

x₃=3,05 y₃=1,205

Рис.3

Расчеты, выполненные по (20) для отдельных значений аргумента показаны на рис.3 штрихпунктирной кривой.

При выборе в качестве узлов интерполяции нулей полинома Чебышева 1-го рода, мы можем уточнить величину максимального остаточного члена.

(22)

ВЫВОД: Выбор узлов интерполяции в соответствии с нулями полинома а 1-го рода при сохранение формулы Лагранжа позволила резко увеличить точность аппроксимации. В формуле Лагранжа произведение П(х) следует заменить на тригонометрический полином Чебышева 1-го рода.

Дата добавления: 2015-07-20