Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции.

Читайте также:
  1. II. Обеспечение возможности правильного выбора
  2. VII.2. Разбор с преподавателем узловых вопросов, необходимых для освоения темы занятия
  3. А если их отцы ничего не разумели и не следовали прямым путем?
  4. А. Нормативное применение теории рационального выбора
  5. А.3 Примеры решения задачи интерполяции с использованием формулы Лагранжа
  6. А.4 Пример решения задачи интерполяции с использованием многочлена Ньютона
  7. Абсолютная и относительная погрешности.

Если выбрать узлы интерполяции определённым образом, то можно уменьшить абсолютную погрешность интерполирования. Выберем в качестве узлов интерполяции нули многочлена (полинома) Чебышева 1-го рода.

Tn(x)=cos[n(arccosx)] (13)

Где n - порядок полинома. Доказательство, что данная функция является многочленом, можно найти в учебной литературе по курсу.

полином II –го рода (14)

Из уравнения ТN(x)=0 если считать, что функция y=f(x) задана на [-1;1], то получим:

j=0…N (15)

Т.к. узлами интерполяции служат нули полинома Тn(х), то можно функцию П(х) заменить на TN(x).

-1≤x≤1 (16)

j=1,2,…,N (17)

С учетом выражений (15 - 17) интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

(18)

-1≤x≤1 x≠xj

Pn(xj)=yj j=0,1,2,…,N - в узлах интерполяции.

Расширим область задания функции y=f(x) на произвольный отрезок [а,b]. Введем замену независимой переменной x = φ1(u) таким образом чтобы функция

y=f(φ1(u))=f1(u) [-1;1].

Пусть функция x=φ1(u) имеет обратную функцию и точкам xj соответствуют точки uj, являющиеся нулями полинома Чебышева I рода. При этом для аппроксимации функции y=f1(u) можно использовать формулу (23).

Если cчитать

, следовательно функция y аппроксимирует функцию f(x) и очевидно, что преобразование независимой переменной позволяет функцию, заданную на [а,b] свести к функции на отрезке [-1;1].

А преобразование (19)

дает возможность осуществить обратный переход.

Поэтому функцию, заданную на [а,b] можно аппроксимировать с помощью интерполяционного полинома следующего вида:

x≠xj (20)

Pn(xj)=yj – значение функции в точке.

Узлы интерполяции надо выбирать

j=1,2,…,N (21)

Пример: По формуле (21) определим узлы интерполяции xj для рассмотренного примера аппроксимации кривой намагничивания аморфной стали В = f(H).

При N = 4, а = 0, b = 80.

По формуле (21) получим:

x0=76,95 y0=1,498 эти точки – новые

x1=55,31 y1=1,481 узлы интерполяционной

x2=24,69 y2=1,457 формулы Лагранжа

x3=3,05 y3=1,205

Рис.3

Расчеты, выполненные по (20) для отдельных значений аргумента показаны на рис.3 штрихпунктирной кривой.

При выборе в качестве узлов интерполяции нулей полинома Чебышева 1-го рода, мы можем уточнить величину максимального остаточного члена.

(22)

ВЫВОД: Выбор узлов интерполяции в соответствии с нулями полинома а 1-го рода при сохранение формулы Лагранжа позволила резко увеличить точность аппроксимации. В формуле Лагранжа произведение П(х) следует заменить на тригонометрический полином Чебышева 1-го рода.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 231 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Что такое численные методы? | Постановка задачи аппроксимации функций | Существование и единственность интерполяционного многочлена | Полином Лагранжа. Интерполяционный многочлен Лагранжа. | Погрешность интерполяционной формулы при равноотстоящих узлах | Аппроксимация сплайнами. | Аппроксимация по методу наименьших квадратов. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа.| Аппроксимация экспериментальных данных с помощью интерполяционной формулы Ньютона.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)