Полином Лагранжа. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Требуется найти полином n-ой степени который в N точках совпадает со значением функции f(x).

Для этого предварительно составим систему полиномов {φ_i(x)} каждый из которых в т. x _j равен единице, а в остальных точках равен 0. Тогда искомый интерполяционный полином будет иметь вид: (4)

Набор функций { φ_i(x) } - фундаментальная система полинома (базисные многочлены степени n).

По определению(чтобы многочлен был интерполяционным):

полиномы φ_j(x_k) должны удовлетворять условию:1. при j=k обращаются в 1, 2. при j k - в 0, следовательно их можно представить в виде: (5),

а коэффициент сj легко получается из условия для интерполяции φ_j(x_k)=1, подставляя в выражение (5) значение x=x_k и приравнивая его единице, получим ,

тогда базисные многочлены Лагранжа

j=0,1,2,…N (6)

А искомый интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

(7)

Это выражение представим в более компактной форме. Для этого введем вспомогательную функцию:

(8),

Если умножить и разделить каждое из слагаемых выражения (7) на (х – х_j) и заменить числитель на П_n+1(х), а знаменатель на П_n+1^/(х_j) (это производная функции П(х) в j-ом узле, равная ), то получим формулу полинома Лагранжа в общеизвестном виде:

(9)

Пример: рассмотрим построение интерполяционного полинома Лагранжа, аппроксимируя основную кривую намагничивания аморфной стали марки 7421, отожженной в магнитном поле.

Необходимость аппроксимации функции В = f(H) возникает при расчете устройств силовой электроники, содержащих ферромагнитные элементы (трансформаторы, электрические машины...).

Рис.1

Для аппроксимации функции В = f(H) (рис. 1) с помощью интерполяционного полинома Лагранжа 3 (кубическая интерполяция) степени необходимо иметь значение этой функции в 4 точках (т. О, А, В, С).

Полиномы 1 и 2-ой степени, называются линейной и квадратичной интерполяцией соответственно.

Согласно формуле (7) интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

В точке H_j значения полинома равны экспериментальным данным. В остальных точках погрешность аппроксимации достигает неприемлемых размеров, см. рис. 2, где (*) помечены значения индукции В, полученные подстановкой различных величин в [интерполяционный полином (7).

Рис.2

На первый взгляд может показаться, что точность аппроксимации можно повысить за счет увеличения узловых точек N, но исследования показали, что при N→∞ последовательность полиномов P_n(x) не всегда сходится к f(x).

Практикой установлено, что эффективность полиномов Лагранжа увеличивается при интерполяции гладких функций и число N является небольшим. В математическом обеспечение ЭВМ имеются стандартные программы аппроксимации, в которых реализована формула Лагранжа при малых N (часто N=4). Использование интерполяционной формулы Лагранжа для обработки экспериментальных данных требует учета ошибок эксперимента.

Формула Лагранжа при N≥4 становится громоздкой для практического использования, т. к. в нее входит произведение П(х).

Дата добавления: 2015-07-20