Интерполирование функции полиномами.

Рассмотрим сначала такую ситуацию, когда мы можем в результате весьма трудоемких и дорогих измерений или компьютерных расчетов точно найти значения некоторой функции только для нескольких значений независимой переменной. Другими словами нам доступна только таблица точных значений функции в точках некоторого отрезка . Требуется заменить приближенной функцией, удобной, во-первых, для вычисления её значений любой точке на отрезке или вне отрезка и, во-вторых, для использования при решении прикладных математических задач.

В такой постановке построение приближенной функции называется интерполированием, в основе его лежит идея приближения функции обобщенными полиномами , принимающими в заданных точках заданные табличные значения . Точки называются узлами интерполяции. Геометрически интерполирование означает, что графики функции и интерполяционного полинома пересекаются в точках .

Рассмотрим задачу полиномиальной интерполяции многочленами вида

(4.1)

Подстановка многочлена (1) в условия интерполяции приводит к невырожденной системе линейных уравнений (доказано, что её определитель, так называемый определитель Вандермонда, отличен от нуля, если все узлы интерполяции – различные))

. (4.2)

Лагранжу удалось получить единственное решение задачи полиномиальной интерполяции в явном виде

(4.3)

Такой многочлен (4.3) называется интерполяционным многочленом Лагранжа степени .

Есть ещё одна любопытная форма записи решение задачи полиномиальной интерполяции - интерполяционный многочлен Ньютона

(4.4)

Подстановка многочлена (4.4) в условия интерполяции приводит к системе линейных уравнений с треугольной матрицей

. (4.5)

Из уравнений (4.5) легко определяются друг за другом искомые неопределенные коэффициенты

Подчеркнем ещё раз, что поставленная интерполяционная задача имеет единственное решение, следовательно, формулы (4.1), (4.3) и (4.4) дают три различных формы записи одного интерполяционного многочлена.

Форма Лагранжа (4.3) удобнее, если нужно вычислять различные функции по значениям, заданным в одних и тех же узлах. Форма Ньютона (4.4) удобна тем, что добавление ещё одного узла для увеличения точности интерполяции не требует пересчета уже известных коэффициентов, достаточно вычислить только последний коэффициент. Заметим также, что для вычисления конкретного значения нет смысла строить интерполяционный многочлен по всей большой таблице. Обычно строят полином невысокой степени (например, 3 или 4), обозначив ближайший узел как и взяв ещё несколько близких узлов (с любой стороны и в любом порядке)

Пример 4.1. Полиномиальная интерполяция табличной функции. Требуется построить интерполяционные полиномы: канонический (4.1), Лежандра (4.3) и Ньютона (4.4) для функции , заданной в табличной форме:

X

Y

Решение. Табличные данные и три интерполяционных полинома представлены на рисунке 4.1. Графики полиномов совпадают, поскольку они отличаются лишь формой записи как упоминалось выше. Все заданные точки лежат на общем графике, однако, на концах график испытывает резкие колебания.

Рис. 4.1

Перейдем к вопросу об интерполяции достаточно гладкой функции полиномами с произвольным расположением интерполяционных узлов. Как расположить узел на отрезке , чтобы погрешность интерполяции стала минимальной?

Известно [Вержбицкий ЧМ матан], что точность равномерного приближения раз непрерывно дифференцируемой функции интерполяционным полиномом можно оценить по формуле

. (4.6)

Задача о многочленах наилучшего равномерного приближения была решена знаменитым русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышевым. Заменой переменных мы должны перейти к отрезку и рассмотреть нем точек . Чебышев доказал, что погрешность (6) при заданном станет наименьшей, если за взять

- (4.7)

нули многочленов Чебышева

. (4.8)

Приведем в канонической записи несколько первых многочленов Чебышева:

(4.9)

Расположение их нулей иллюстрируют графики на рисунке 4.2

Рис. 4.2

Видно, что четность полиномов определяется их номером. С ростом номера узлы смещаются к концам отрезка. Если нули многочленов Чебышева использовать для определения узлов интерполяции, то полученный интерполяционный полином обеспечит наименьшую погрешность интерполяции

, (4.10)

Величина представляет собой равномерную норму в пространстве непрерывных на отрезке функций. Тогда, согласно оценке (4.10) для достаточно гладких на отрезке функций последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа сходится к по равномерной норме.

В математическом анализе широко известна теорема Вейерштрасса, которая утверждает, что для любой непрерывной на отрезке функции найдется многочлен такой, что для любого сколь угодно малого и любой точки . Другими словами, если отказаться от условия полиноминальной интерполяции, то для существования сколь угодно точного аппроксимирующего полинома от функции достаточно потребовать лишь непрерывность.

Математики доказали, что среди всех многочленов фиксированной степени существует единственный многочлен наилучшего равномерного приближения. К сожалению, ни общий вид, ни способы их построения пока неизвестны. Есть только некоторые методики построения многочленов, близких к многочлену наилучшего равномерного приближения.

Пример 4.2. Полиномиальная интерполяция гладкой функции. Требуется построить интерполяционные полиномы для функции на отрезке . Разделим сначала отрезок на равных частей и возьмем их границы за равноотстоящих узлов интерполяции, найдем точную и приближенную оценки погрешности интерполирования. Затем проведем интерполяцию, взяв за интерполяционные узлы нулей полинома Чебышева .

Решение. На рисунках (4.3) и (4.4) построены массив равноотстоящих интерполяционных узлов , массив чебышевских узлов и два соответствующих интерполяционных полинома. Графики функции и полиномов визуально совпадают.

Рис. 4.3

Графики функции и полиномов визуально совпадают.

Рис. 4.4

Рассмотрим погрешности интерполяции более детально. Для оценок (4.6) и (4.10) требуется найти наибольшие значения функций на отрезке. Решим такую задачу, используя функции сортировки матрицы А по возрастанию в столбце с номером с . Соответствующая программа построена на рисунке 4.5 она определяет наибольшее и наименьшее значения синуса. Для этого большая матрица значений аргументов и функции сортируется по возрастанию значений функции.

Рис. 4.5

Построим графики погрешностей интерполирования

Рис. 4.6

По графикам видно, что переход к чебышевским узлам уменьшает погрешность интерполяции в особенности у концов отрезка.

Количественные оценки можно получить, используя программу (Рис. 4.5) для непосредственной оценки максимальных отклонений:

Переход от равноотстоящих узлов к чебышевским узлам уменьшает погрешность интерполяции в 4,617 раз.

Вышеупомянутые оценки (4.6) и (4.10) в численном виде выглядят так

(4.6)

(4.10)

Дата добавления: 2015-07-20