Общая постановка задачи о приближение функций

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Общая постановка задачи о приближение функций

В основе многих численных методов анализа лежит идея замены на некотором отрезке исходной функции на другую функцию , которая близка к , но более удобна для вычислений. Такая функция называется аппроксимирующей и при построении её необходимо ответить на ряд вопросов.

Во-первых, что известно о ? Она может быть задана аналитическим выражением или нам доступна только таблица значений , измеренных в определенных точках . Как распределены эти точки и можно ли нам задавать их расположение по своему усмотрению?

Во-вторых, из какого семейства мы можем выбирать аппроксимирующую функцию ? Часто строится в виде обобщенных полиномов порядка :

по системе достаточно гладких и удобных функций, например, обычных полиномов или тригонометрических функций.

В-третьих, множество точек , на котором отклонение от должно быть наименьшим, может состоять из отдельных точек (точечное приближение) или совпадать со всем отрезком (интегральное приближение). И, наконец, сам термин приближение может быть истолкован как интерполирование, равномерное приближение или среднеквадратическое приближение.

Отметим, что в математическом анализе функция заменялась полиномом Тейлора достаточно, исходя из требования совпадения в единственной точке значений и всех производных . В реальной практике одномоментное измерение набора значений некоторой физической величины и всех её производных не представляется возможным.

Дата добавления: 2015-07-20