Исследование интерполяционного полинома Лагранжа

Составитель: Панкратов Ю.M.

Санкт-Петербург

Лабораторная работа №5

Целью работы является умение интерполировать дискретные данные полиномом Лагранжа и исследование погрешностей интерполяции в зависимости от количества узлов интерполирования и вида аппроксимируемой функции.

1. Теоретические сведения

В различных областях науки и техники часто возникает задача приближенной замены некоторой зависимости f(x) другой функцией j(x) таким образом, чтобы отклонение (в некотором смысле) функции j(x) от f(x) на заданном отрезке [a, b] было наименьшим. Функция j(x) называется аппроксимирующей, а сама процедура замены – аппроксимацией. Если приближение строится на дискретном множестве точек x_i, то такая аппроксимация называется точечной. Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Задача интерполирования формулируется так: для данной функции y=f(x) построить функцию, принимающую в заданных точках x_i, называемых узлами интерполирования, те же значения y_i, что и функция f(x), т.е. j(x)=y_i, (i=0,1,…,n). При этом функция y=f(x) может быть задана в виде координат точек x_i и y_i, полученных различными способами, в том числе и экспериментальным путем. Известно много видов интерполяционных функций j(x). Наиболее удобной для практического использования функцией является алгебраический многочлен, поскольку его легко вычислять, дифференцировать, интегрировать и т.п.

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого отрезка [a, b] изменения x_i. Такая интерполяция называется кусочной (локальной). Если учитываются все узлы отрезка [a, b], то говорят о глобальной интерполяции.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть на отрезке [a, b] в неравноотстоящих n+1 узлах x₀, x₁,..., x_n известны значения функции y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),..., y_n =f(x_n). Требуется построить многочлен L(x) так, чтобы в узлах x₀, x₁,..., x_n его значения совпадали со значениями заданной функции, т.е. L(x₀)=y₀, L(x₁)=y₁,...,L(x_n)=y_n.

Будем искать многочлен степени не выше n

L(x)=a₀+a₁x+a₂x²+... +a_nxⁿ, (1)

где a₀, a₁,..., a_n - постоянные коэффициенты, которые требуется найти.

Подставим вместо x значения x₀, x₁,..., x_n, а вместо L(x) их значения y₀, y₁,..., y_n. Получим систему уравнений

a₀+a₁ x₀+ a₂ x₀²+ ¼ + a_n x₀ⁿ = y₀

a₀+a₁ x₁+ a₂ x₁²+ ¼ + a_n x₁ⁿ = y₁ (2)

............

a₀+a₁ x_n+ a₂ x_n²+¼ + a_n x_nⁿ = y_n

Решение этой системы позволит определить все коэффициенты a₀, a₁,..., a_n многочлена (1). Так и поступают, когда требуется многократно использовать многочлен (1). Для разового использования гораздо быстрее и удобнее воспользоваться многочленом в форме Лагранжа, который предложил линейную комбинацию многочленов степени n:

L(x)=y₀ l₀(x)+ y₁ l₁(x)+... + y_n l_n(x) (3)

Потребуем, чтобы каждый многочлен l_i(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного i-го, где он должен равняться единице. Этим условиям отвечает многочлен вида

(4)

Действительно, при x=x₀ l₀(x₀)=1. При всех остальных значениях x=x₁, x₂,..., x_n числитель выражения (4) обращается в нуль. По аналогии с (4) получим

(5)

Подставляя в (3) выражения (4) и (5), получим

или в более компактной записи

(6)

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Она позволяет избавиться от необходимости вычисления коэффициентов a₀, a₁,..., a_n в (1) путем решения системы (2), а использовать только известные значения узлов интерполяции. Непременное условие – отсутствие совпадающих узлов.

При n =1 формула (6) преобразуется в формулу линейной интерполяции, при n =2 - квадратичной (параболической) интерполяции.

К недостаткам формулы Лагранжа следует отнести большую осцилляцию между узлами для некоторых функций при недостаточном количестве узлов и очень большие погрешности при попытках его использования в целях экстраполяции за пределами отрезка [a, b] заданных узлов. В наибольшей степени это свойственно функциям гиперболического типа (например, функция Рунге).

2. Задание

2.1. Функцию f(x) интерполировать многочленом Лагранжа на указанном отрезке [a, b]. Просмотреть совмещенный график функции и вид многочлена Лагранжа при количестве интервалов на отрезке n=1 (линейная интерполяция) и n=2 (квадратичная интерполяция). Окончательно в отчете представить совмещенный график функции и многочлена Лагранжа при указанном в задании n интервалов.

2.2. Построить график погрешностей D(x)= f(x)-L(x) при указанном в задании количестве интервалов n.

2.3. Построить график максимальных абсолютных погрешностей D(x)_max = max | f(x)-L(x) | в зависимости от количества интервалов n (n=1,2,...,10), на которые разбивается отрезок [a, b].

2.4. Построить совмещенный график функции f(x) и многочлена Лагранжа L(x), экстраполировав значения x за пределы отрезка [a, b] на 0.25(b-a) влево и вправо.

2.5. По результатам исследования сделать выводы.

Варианты задания:

№	Функция	Границы отрезка	Количество интервалов n
a	b
1.	f(x): = 0.2x^2+3sin(x)
2.	f(x): = 3cos(x - 0.5) + 0.4x^2	-2
3.	f(x): = 0.01x^4- 2(x-5)^2 –25x	-10
4.	f(x): = if(x >2, 0, 3sin(1.57x))
5.	f(x): = sin(x)+0.1cos(4x)	-1
6.	f(x): = 0.5|x|	-2
7.	f(x): = 1/(1+25x^2) - функция Рунге	-2
8.	f(x): =15cos(x – 0.1)+0.4x^3	-6
9.	f(x): =10/(1+x^2)	-3
10.	f(x): = 1/(4+x^2)	-2
11.	f(x): = sin(0.5x)+4cos(2x)
12.	f(x): = 2sin(0.25x)+cos(4x)
13.	f(x): = 0.8x^2+4sin(x^2)
14.	f(x): = cos(x)+5sin(x^2)
15.	f(x): = 2sin(0.25x^2)
16.	f(x): = 4sin(0.5x^2)
17.	f(x): = x^2+4/x	0.5
18.	f(x): =2sin(x^2)/cos(2x)
19.	f(x): =log(x)
20.	f(x): = 0.1x^3+2sin(x^2)
21.	f(x): = sin(2x)
22.	f(x): = sin(2x+2)+cos(x)
23.	f(x): = sin(2x)+cos(x^2)
24.	f(x): = sin(2x^2)+cos(x)
25.	f(x): = sin(2x)+1/x
26.	f(x): = sin(x)+10/x
27.	f(x): = sin(x)+x/(cos(x)+2)
28.	f(x): = 4+(cos(x))/x
29.	f(x): = cos(2x)+2sin(x/(x+2))
30.	f(x): = cos(x^2)+2sin(2/(x+4))

3. Литература

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М., Наука,1975. –632 c.

2. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. – М., Наука,1976. –304 с.

3. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд. – М., Наука, 1987.

4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М., Наука,1972.

5. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учеб. пособие.– 2-ое изд., перераб. и доп. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. –304 c.

6. Исаков В.Н. Элементы численных методов. – М., Издательский центр «Академия»,2003. –192 c.

4. Пример выполнения задания

Дата добавления: 2015-07-20