|
Читайте также: |
Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
P(x) = y0+(x-x0)f(x0,xl) + (x-x0)(x-x1)f(x0,xl,x2)+... + (x-x0)(x-xl)...(x-xn-1)f(x0,xl,...,xn), (11)
в котором f(x0,x1),f(x0,x1,x2),...,f(x0,xl,...,xn) – разделенные разности различных порядков. Этот многочлен удовлетворяет условиям yk =f(xk) = Pn(xk) (к = 0,1,2,...,п).
Интерполяционной формулой Ньютона называется формула
f(x) 
y0+(x-x0)f(x0,xl)+(x-x0)(x-xl)f(x0,x1,x2)+..+(x-x0)(x-xl)...(x-xn-1)f(x0,x1,x2,...,xn). (12)
Замечание 1. Поскольку любой к-й член многочлена Ньютона зависит только от к первых узлов интерполяции и от значений функции в этих узлах, добавление новых узлов вызывает в формуле (11) лишь добавление новых членов без изменения первоначальных. Это является существенным преимуществом многочлена Ньютона по сравнению с многочленом Лагранжа.
Замечание 2. В силу единственности интерполяционного многочлена n -ой степени интерполяционный многочлен Ньютона перегруппировкой членов можно преобразовать в интерполяционный многочлен Лагранжа и обратно.
В случае равноотстоящих узлов интерполяции (х1 = x0+h, x2 = х 0 + 2h,...,хп = х 0 + nh) из формулы (12) с учетом равенств (8) — (10) получается интерполяционная формула Ньютона для «интерполирования вперед»:
(13)
Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к наименьшему узлу х 0.
Интерполяционная формула Ньютона для «интерполирования назад» имеет вид:
(14)
Формула (14) удобна при интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу хп.
Замечание. В формуле (13) коэффициенты многочлена содержат конечные разности различных порядков, принадлежащей верхней (нисходящей) строке таблицы разностей (см. таблицу 1). В формуле (14) коэффициенты многочлена содержат разности различных порядков, принадлежащие нижней (восходящей) строке этой таблицы.
Пример 9. Найти интерполяционный многочлен Ньютона для функции y = f(x), если известны ее значения:
f (2) = 1, f (4) = 15, f (5) = 28.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 100 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Решение | | | Решение |