Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интерполяционные формулы Ньютона

Читайте также:
  1. А.3 Примеры решения задачи интерполяции с использованием формулы Лагранжа
  2. А.4 Пример решения задачи интерполяции с использованием многочлена Ньютона
  3. Аппроксимация экспериментальных данных с помощью интерполяционной формулы Ньютона.
  4. Ввод формулы.
  5. Выведение расчетной формулы
  6. Вывод формулы геометрического передаточного числа рычажной передачи тормоза
  7. Вывод формулы и определение передаточного числа рычажной тормозной передачи

Пусть узлы интерполяции распределены на отрезке равномерно
xi = a + ih, i = 0, 1, … n. Обозначим шаг изменения переменной x через Δ x = h.

Введем сначала понятия конечной разности и обобщенной степени. Эти понятия используются для записи интерполяционной формулы Ньютона.

Первой конечной разностью функции y = f (x) называется выражение

 

Δ y = f (x + Δ x) – f (x). (4.5)

Конечная разность второго порядка определяется формулой

 

Δ2 y = Δ(Δ y) = Δ[ f (x + Δ x) – f (x)] = f (x + 2Δ x) – 2 f (x + Δ x) + f (x). (4.6)

 

Используя формулу бинома Ньютона, можно вывести формулу конечной разности n-го порядка

 

(4.7)

 

где .

Пример 4.1. Найти конечные разности функции x 2 с шагом Δ x = h = 1.

Решение. Δ x 2 = (x + h)2x 2 = 2 xh + h 2 = 2 x + 1,

Δ2 x 2 = Δ(2 xh + h 2) = 2(x + h) h + h 2 – (2 xh + h 2) = 2 h 2 = 2,

Δ3 x 2 = Δ(2 h 2) = 0.

Как видим, конечная разность третьего порядка функции x 2 равна нулю. Справедливо более общее утверждение:

Конечная разность (n + 1) -го порядка многочлена n-го порядка равна нулю.

Пусть функция f (x) задана своими значениями yi = f (xi) в равноотстоящих точках xi = x 0 + ih, i = 0, 1, … n.

Таблица конечных разностей функции f (x) записывается в одной из двух форм: горизонтальной или диагональной таблицы разностей. Так как конечная разность использует два значения, столбец Δ yi содержит n значений, столбец Δ2 yi — на одно значение меньше, и так далее. Если задано n + 1 значений функции, то таблица конечных разностей содержит n столбцов, причем последний столбец содержит только одно значение. Общий вид горизонтальной таблицы конечных разностей приведен в табл. 4.1.

 

Таблица 4.1

xi yi Δyi Δ2yi Δ3yi Δ n- 1yi Δ n yi
x0 y0 Δy0 Δ2y0 Δ3y0 Δ n -1y0 Δ n y0
x1 y1 Δy1 Δ2y1 Δ3y1 Δ n -1y1  
   
x n – 2 y n – 2 Δy n – 2 Δ2y n – 2        
x n – 1 y n – 1 Δy n – 1          
x n y n            

 

Рассмотрим горизонтальную таблицу конечных разностей на примере.

Пример 4.2. Построить таблицу конечных разностей многочлена
5 x 4 + 4 x 2, используя его значения в точках xi = –1 + i∙ 0,5, i = 0, 1, …10.

Решение в программе Excel. Запишем в столбце A 1: A 12 номера i точек, в столбце B 1: B 12 — значения xi, в столбце C 1: C 12 — значения yi, и в следующих столбцах — конечные разности Δ yi, Δ2 yi и т.д. (Табл. 4.2). Как заполняются столбцы A 1: A 12 и B 1: B 12 видно из табл. 4.2, поясним заполнение остальной части таблицы.

Выделим диапазон B 2: B 12 и выполним команду меню «Вставка — Имя — Присвоить — x»;

Запишем в ячейку C 2 формулу =5* x ^4 + 4* x ^2 и протянем маркером заполнения ячейку C 2 до ячейки C 12;

В ячейку D 2 запишем формулу = C 3– C 2, выделим D 2 и протянем до D 11. Затем снова выделим D 2 и маркером заполнения скопируем в ячейки E 2: H 2. Далее выделим и протянем вниз поочередно ячейки: E 2 — до E 10; F 2 — до F 9; G 2 — до G 8; H 2 — до H 7. Мы увидим, что Δ4 yi принимает постоянные значения, а Δ5 yi = 0. Если продолжить таблицу, т.е. вычислить конечные разности старших порядков, в следующих столбцах получим нулевые значения.

 

Табл. 4.2

  A B C D E F G H
  i x yi Δyi Δ2yi Δ3yi Δ4yi Δ5yi
    -1,000 9,000 -4,392 1,872 -0,672 0,192 0,000
    -0,800 4,608 -2,520 1,200 -0,480 0,192 0,000
    -0,600 2,088 -1,320 0,720 -0,288 0,192 0,000
    -0,400 0,768 -0,600 0,432 -0,096 0,192 0,000
    -0,200 0,168 -0,168 0,336 0,096 0,192 0,000
    0,000 0,000 0,168 0,432 0,288 0,192 0,000
    0,200 0,168 0,600 0,720 0,480 0,192  
    0,400 0,768 1,320 1,200 0,672    
    0,600 2,088 2,520 1,872      
    0,800 4,608 4,392        
    1,000 9,000          

 

Обобщенной степенью n-го порядка числа x называется произведение

 

x [ n ] = x (xh)(x – 2 h)… [ x – (n – 1) h ], (4.8)

 

где h = const, а для n = 0 полагают x [0] = 1.

Найдем конечные разности для обобщенной степени.

 

Δ x [ n ] = (x + h)[ n ]x [ n ] =

= (x + h) x (xh)(x – 2 h)… [ x – (n – 2) h ] – x (xh)(x – 2 h)… [ x – (n – 1) h ] =

= x (xh)(x – 2 h)… [ x – (n – 2) h ]{ (x + h) – [ x – (n – 1) h ]} = nh x [ n – 1].

 

Мы получили следующую важную формулу

 

Δ x [ n ] = nh x [ n – 1]. (4.9)

 

Пользуясь методом математической индукции можно вывести и общую формулу

Δ kx [ n ] = n (n – 1)…[ n – (k – 1)] hkx [ n k ]. (4.10)

 

Выведем первую интерполяционную формулу Ньютона. Найдем многочлен Pn (x), удовлетворяющий условиям Pn (xi) = yi для i = 0, 1, …, n. Будем искать многочлен Pn (x)в следующем виде

 

Pn (x) = a 0 + a 1(xx 0) + a 2(xx 0)(xx 1) + … an (xx 0)(xx 1)…(xxn) =

 

= a 0 + a 1(xx 0)[1] + a 2(xx 0)[2] + … an (xx 0)[ n ].

 

Из условия Pn (x 0) = y 0 следует a 0 = y 0.

Найдем первую конечную разность многочлена Pn (x):

 

Δ Pn (x) = a 1 h + 2 ha 2(xx 0)[1] + … nan (xx 0)[ n – 1].

 

Отсюда при x = x 0 получим Δ Pn (x 0) = a 1 h = Δ y 0, т.е. a 1 = Δ y 0/ h. Аналогично можно получить общую формулу коэффициентов многочлена Ньютона

. (4.11)

 

И теперь можно записать первую интерполяционную формулу Ньютона:

. (4.12)

 

С помощью замены переменной q = (xx 0)/ h первую интерполяционную формулу Ньютона можно представить в виде:

 

. (4.13)

 

Аналогичными рассуждениями выводится вторая интерполяционная формула Ньютона:

 

, (4.14)

 

которая с помощью замены q = (xxn)/ h приводится к виду

 

. (4.15)

 

Первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вблизи начала таблицы (около x 0), а вторая — для интерполирования вблизи конца таблицы (около xn).

Пример 4.3. Задана таблица значений функции yi = f (xi):

 

i          
xi 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
yi     5,5 5,7 5,8

 

Вычислить значение функции в точке x = 2,3.

Решение в программе Excel. Очевидно, что шаг интерполяции h = 0,5.

Вычислим сначала таблицу разностей, а затем — значение первой интерполяционной формулы Ньютона.

Запишем исходные данные в ячейки A 1: A 3 и B 1: B 2, как показано в табл. 4.3. Присвоим ячейкам B 1, B 2, B 3 имена h, x, q с помощью команды «Вставка — имя — Присвоить».

В ячейку B 3 запишем формулу =(x$B$6)/ h.

Ячейки A 5: G 5, A 6: A 13, B 6: B 10 и С 6: С 10 заполним как в таблице 4.3. В ячейку D 6 запишем формулу = C 7– C 6. Затем выделим ячейку D 6 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки D 9.

Снова выделим D 6 и протянем вправо до G 6.

Аналогично протянем ячейку E 6 до E 8 и ячейку F 6 до F 7. В табл. 4.4 показаны формулы, которые нужно ввести в ячейки диапазона B 12: G 13.

В ячейке G 13 получим результат f (2,3) = 4,6712.

Табл. 4.3

  A B C D E F G
  h= 0,5          
  x= 2,3          
  q= 0,6          
               
  i xi y Δy Δ2y Δ3y Δ4y
        1,000 -0,500 0,200 0,000
    2,5   0,500 -0,300 0,200  
      5,5 0,200 -0,100    
    3,5 5,7 0,100      
      5,8        
               
  Коэффициенты   0,6 -0,12 0,056 -0,0336 f(x)
  Слагаемые   0,6 0,06 0,0112 2,98E-17 4,6712

 

Табл. 4.4

  B C D E F G
    =q =C12*(q-1)/2 =D12*(q-2)/3 =E12*(q-3)/4 f(x)
  =B12*C6 =C12*D6 =D12*E6 =E12*F6 =F12*G6 =СУММ(B13:F13)

 

Составим программу на языке C ++ для вычисления значения таблично заданной функции с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона в форме (4.13):

 

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 373 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Приближение функций | Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа | Равномерное приближение функции. Многочлены Чебышева | Интерполяция сплайнами | Аппроксимация. Метод наименьших квадратов | Задачи для самостоятельного решения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Интерполяция| Интерполяционная формула Лагранжа

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.017 сек.)